考研数学·题海战“数”800题（数学二）
第一篇第一章函数、极限、连续
（一）考试内容
①函数的概念及表示法;②函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性;③复合函数、反函数、分段函数和隐函数;④基本初等函数的性质及其图形;⑤初等函数;⑥函数关系的建立;⑦数列极限与函数极限的定义及其性质;⑧函数的左极限与右极限;⑨无穷小量和无穷大量的概念及其关系;⑩无穷小量的性质及无穷小量的比较;极限的四则运算;极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则;两个重要极限：
limx→0sinxx=1，limx→∞1+1xx=e；
函数连续的概念;函数间断点的类型;初等函数的连续性;闭区间上连续函数的性质。
（二）考试要求
（1）理解函数的概念，掌握函数的表示法，并会建立应用问题的函数关系。
（2）了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性。
（3）理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。
（4）掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念。
（5）理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左极限、右极限之间的关系。
（6）掌握极限的性质及四则运算法则。
（7）掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。
（8）理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷小量求极限。
（9）理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。
（10）了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、大值和小值定理、介值定理），并会应用这些性质。
1. （★☆☆）设f（x）=x2，x≤0,x2+x，x>0,则（）
（A）f（-x）=-x2，x≤0,-（x2+x），x>0。
（B）f（-x）=-（x2+x），x<0,-x2，x≥0。
（C）f（-x）=x2，x≤0,x2-x，x>0。
（D）f（-x）=x2-x，x<0,x2，x≥0。
2. （★☆☆）设f（x）=1，x≤1,0，x>1,则f{f［f（x）］}=（）
（A）0。（B）1。
（C）1，x≤1,0，x>1。
（D）0，x≤1,1，x>1。
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3. （★★★）设函数f（x）在（0,+∞）上具有二阶导数，且f ″（x）>0，令un=f（n）（n=1,2,…），则下列结论正确的是（）
（A）若u1>u2 ，则{un}必收敛。（B）若u1>u2 ，则{un}必发散。
（C）若u1 4. （★☆☆）下列各式中正确的是（）
（A）limx0+1+1xx=1。
（B）limx0+1+1xx=e。
（C）limx∞1-1xx=-e。
（D）limx∞1+1x-x=e。
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5. （★★★）若limx→0（ex+ax2+bx）1x2=1，则（）
（A）a=12,b=-1。（B）a=-12,b=-1。
（C）a=12,b=1。（D）a=-12,b=1。
6. （★☆☆）函数f（x）=xsinx（）
（A）当x→∞时为无穷大。
（B）在（-∞，+∞）内有界。
（C）在（-∞，+∞）内无界。
（D）当x→∞时有有限极限。
7. （★☆☆）设数列{xn}与{yn}满足limn→∞xnyn=0，则下列结论正确的是（）
（A）若{xn}发散，则{yn}必发散。
（B）若{xn}无界，则{yn}必无界。
（C）若{xn}有界，则{yn}必为无穷小。
（D）若1xn为无穷小，则{yn}必为无穷小。
8. （★★☆）设{an},{bn},{cn}均为非负数列，且limn→∞an=0,limn→∞bn=1,limn→∞cn=∞,则必有（）
（A）an （C）极限limn→∞ancn不存在。（D）极限limn→∞bncn不存在。
9. （★☆☆）设对任意的x，总有φ（x）≤f（x）≤g（x），且limx∞［g（x）-φ（x）］=0，则limx∞f（x）（）
（A）存在且等于零。
（B）存在但不一定为零。
（C）一定不存在。
（D）不一定存在。
10. （★☆☆）设函数f（x）在（-∞,+∞）内单调有界，{xn}为数列，下列命题正确的是（）
（A）若{xn}收敛，则{f（xn）}收敛。
（B）若{xn}单调，则{f（xn）}收敛。
（C）若{f（xn）}收敛，则{xn}收敛。
（D）若{f（xn）}单调，则{xn}收敛。
11. （★☆☆）设f（x）=2x+3x-2，则当x→0时（）
（A）f（x）与x是等价无穷小。
（B）f（x）与x是同阶但非等价无穷小。
（C）f（x）是比x高阶的无穷小。
（D）f（x）是比x低阶的无穷小。
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12. （★★★）设f（0）可导，f（0）=0，f ′（0）=2，F（x）=∫x0t2f（x3-t3）dt，g（x）=x75+x66，则当x→0时，F（x）是g（x）的（）
（A）低阶无穷小。
（B）高阶无穷小。
（C）等价无穷小。
（D）同阶但非等价无穷小。
13. （★☆☆）当x→0时，下列四个无穷小中，比其他三个高阶的无穷小是（）
（A）x2。
（B）1-cosx。
（C）1-x2-1。
（D）x-tanx。
14. （★☆☆）当x→0+时，与x等价的无穷小量是（）
（A）1-ex。（B）ln1+x1-x 。
（C）1+x-1。（D）1-cosx。
15. （★★☆）把x→0+时的无穷小量α=∫x0cost2dt，β＝∫x20tan tdt，γ＝∫x0sint3dt排列起来，使排在后面的是前面一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是（）
（A）α，β，γ。
（B）α，γ，β。
（C）β，α，γ。
（D）β，γ，α。
16. （★★☆）设x→0时,ax2+bx+c-cosx是比x2高阶的无穷小，其中a，b，c为常数，则（）
（A）a=12，b=0，c=1。
（B）a=-12，b=0，c=0。
（C）a=-12，b=0，c=1。
（D）a=12，b=0，c=0。
17. （★★☆）设x→0时,（1+sinx）x-1是比xtanxn低阶的无穷小，而xtanxn是比（esin2x-1）ln（1+x2）低阶的无穷小，则正整数n等于（）
（A）1。
（B）2。
（C）3。
（D）4。
18. （★★☆）设当x→0时，（1-cosx）ln（1+x2）是比xsinxn高阶的无穷小，而xsinxn是比（ex2-1）高阶的无穷小，则正整数n等于（）
（A）1。
（B）2。
（C）3。
（D）4。
19. （★★☆）当x→0时，ex-（ax2+bx+1）是比x2高阶的无穷小，则（）
（A）a=12，b=1。
（B）a=1，b=1。
（C）a=12，b=-1。
（D）a=-1，b=1。
20. （★★☆）当x→0时，f（x）=x-sinax与g（x）=x2ln（1-bx）是等价无穷小，则（）
（A）a=1,b=-16。（B）a=1,b=16。
（C）a=-1,b=-16。（D）a=-1,b=16。
21. （★☆☆）当x→0时，f（x）=3sinx-sin3x与cxk是等价无穷小，则（）
（A）k=1,c=4。（B）k=1,c=-4。
（C）k=3,c=4。（D）k=3,c=-4。
22. （★★☆）当x→0+时，下列无穷小量中阶数高的是（）
（A）∫x0(et2-1)dt。（B）∫x0ln(1+t3)dt。
（C）∫sinx0sint2dt。（D）∫1-cosx0sin3tdt。
23. （★★☆）设limx0atanx+b（1-cosx）cln（1-2x）+d（1-e-x2）=2，其中a2+c2≠0，则必有（）
（A）b=4d。
（B）b=-4d。
（C）a=4c。
（D）a=-4c。
24. （★★☆）
设α（x）=∫5x0sinttdt, β（x）=∫sinx0（1+t）1tdt，则当x→0时，α（x）是β（x）的（）
（A）高阶无穷小。（B）低阶无穷小。
（C）同阶但非等价的无穷小。（D）等价无穷小。
25. （★☆☆）设f（x）在点x0的某邻域内有定义，且f（x）在x0处间断，则在点x0处必定间断的函数是（）
（A）f（x）sinx。（B）f（x）+sinx。
（C）f 2（x）。（D）f（x）。
26. （★★☆）设f（x）和φ（x）在（-∞，+∞）上有定义，f（x）为连续函数，且f（x）≠0，φ（x）有间断点，则（）
（A）φ［f（x）］必有间断点。
（B）［φ（x）］2必有间断点。
（C）f［φ（x）］必有间断点。
（D）φ（x）f（x）必有间断点。
27. （★★★）
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若函数f（x）=1-cosxax,x>0,b,x≤0在x=0处连续，则（）
（A）ab=12。（B）ab=-12。
（C）ab=0。（D）ab=2。
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28. （★★★）
设函数f（x）=-1,x<0，1,x≥0，g（x）=2-ax,x≤-1，x,-1 （A）a=3,b=1。（B）a=3,b=2。
（C）a=-3,b=1。（D）a=-3,b=2。
29. （★☆☆）f（x）=e1x-1ln1+x（ex-1）（x-2）第二类间断点的个数为（）
（A）1。（B）2。
（C）3。（D）4。
30. （★★☆）函数f（x）=limn∞x2n-1x2n+1的间断点及类型是（）
（A）x=1为第一类间断点，x=-1为第二类间断点。
（B）x=±1均为第一类间断点。
（C）x=1为第二类间断点，x=-1为第一类间断点。
（D）x=±1均为第二类间断点。
31. （★★☆）设f（x）=（x+1）arctan1x2-1,x≠±1，0，x＝±1，则（）
（A）f（x）在点x=1处连续，在点x=-1处间断。
（B）f（x）在点x=1处间断，在点x=-1处连续。
（C）f（x）在点x=1，x=-1处均连续。
（D）f（x）在点x=1，x=-1处均间断。
32. （★★☆）函数f（x）=（e1x+e）tanxx（e1x-e）在［-π,π］上的第一类间断点是x=（）
（A）0。（B）1。
（C）-π2。（D）π2。
33. （★★☆）设函数f（x）=lnxx-1sinx,则f（x）有（）
（A）1个可去间断点，1个跳跃间断点。
（B）1个可去间断点，1个无穷间断点。
（C）2个跳跃间断点。
（D）2个无穷间断点。
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34. （★★★）limn→∞ lnn1+1n21+2n2…1+nn2等于（）
（A）∫21ln2xdx。（B）2∫21lnxdx。
（C）2∫21ln（1+x）dx。（D）∫21ln2（1+x）dx。
1. （★★☆）当x→0时，α（x）=kx2与β（x）=1+xarcsinx-cosx是等价无穷小，则k=。
2. （★★☆）limn→∞n11+n2+122+n2+…+1n2+n2=。
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3. （★★★）极限limn→∞1n2sin1n+2sin2n+…+nsinnn=。
4. （★★☆）limx→01+x+1-x-2x2=。
5. （★★☆）limx→01+tanx-1+sinxx1+sin2x-x=。
6. （★★☆）limx→03sinx+x2cos1x（1+cosx）ln（1+x）=。
7. （★☆☆）limx→∞arctanxx=。
8. （★★☆）设a>0，a≠1，且limx→+∞xp（a1x-a1x+1）=lna，则p=。
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