本章为概率论的基础，在历年的考试中基本每年都会有所考查，题型以填空题与选择题居多，计算题、证明题等高分值的题较少。考试内容包括随机事件、样本空间、事件的关系与运算，它们是计算各种事件概率的基本前提；完备事件组、概率的概念、概率的基本性质、古典型概率、几何型概率、条件概率、概率的基本公式，是计算概率的基本方法；事件的独立性、独立重复试验是重要的概念。
1了解样本空间（基本事件空间）的概念，理解随机事件的概念，掌握事件的关系及运算。
2理解概率、条件概率的概念，掌握概率的基本性质，会计算古典型概率和几何型概率，掌握概率的加法公式、减法公式、乘法公式、全概率公式以及贝叶斯（Bayes）公式等。
3理解事件独立性的概念，掌握用事件独立性进行概率计算；理解独立重复试验的概念，掌握计算有关事件概率的方法。
一、随机事件
（一）随机事件的相关概念
1随机试验的概念
视频讲解具有以下三个特点的试验称为随机试验：
（1）可以在相同的条件下重复地进行。
（2）每次试验的可能结果不止一个，并且能事先明确试验的所有可能结果。
（3）进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现。
注：本书中以后提到的试验都是随机试验。本书通过随机试验来研究随机现象。
2样本空间与样本点
(1)样本空间（基本事件空间）的概念：对于随机试验，尽管在每次试验之前不能预知试验的结果，但试验的所有可能结果组成的集合是已知的。将随机试验E的所有可能结果组成的集合称为E的样本空间（基本事件空间），记为Ω。
(2)样本点（基本事件）的概念：样本空间的元素，即E的每个结果，称为样本点或者基本事件。
例如：试验1——抛一枚硬币，观察正面H、反面T出现的情况。它的样本空间Ω：{H,T}。
试验2——记录某地一昼夜的最高温度和最低温度。它的样本空间Ω：{(x,y)T0≤x≤y≤T1}，这里x表示最低温度(℃),y表示最高温度(℃)，并设这一地区的温度不会小于T0,也不会大于T1。
视频讲解3随机事件
样本空间的子集，即试验满足某些条件的可能结果称为随机事件，简称事件，常用大写英文字母A，B，C等表示，有时用｛……｝表示事件，大括号中用文字或式子描述事件的内容。
在每次试验中，当且仅当事件中的一个样本点出现时，称这个事件发生。由一个样本点组成的单点集称为基本事件；由多于一个样本点组成的集合称为复合事件。
显然，样本空间Ω和空集都是Ω的子集，从而也是事件，它们分别称为必然事件——每次试验中一定发生的事件;不可能事件——每次试验中都不可能发生的事件。
（二）事件的关系及运算
1包含
若事件A发生必然导致事件B发生，即A为B的子集，则称事件B包含事件A，也称A为B的子事件，记作AB，图1-1（称为文氏图）表示了事件的包含关系，显然，对任何事件A有ABΩ。
2相等
若两个事件A，B满足AB且BA，则称A与B相等，记作A=B。此时A与B包含的样本点完全相同，即表示同一个事件。
3和（并）
事件A，B中至少有一个发生的事件称为A与B的和（并），记作A∪B（或A+B），即
A∪B=｛ωω∈A或ω∈B｝，
图1-2（阴影部分）表示了A与B的和事件。
类似有n个事件A1,A2,…,An的和∪ni=1Ai,称∪∞i=1Ai为可列个事件A1,A2,…,An,…的和事件。
4积（交）
事件A与B同时发生的事件称为A与B的积（交），记作A∩B(或AB),即
A∩B={ωω∈A且ω∈B}，
图1-3（阴影部分）表示了A与B的积事件。
类似地，有n个事件A1,A2,…，An的积∩ni=1Ai,称∩∞i=1Ai为可列个事件A1,A2,…,An,…的积事件。
5差
事件A发生但B不发生的事件称为A与B的差，记作A-B，即
A-B={ωω∈A但ωB}，
图1-4（阴影部分）表示了A与B的差事件。
6互不相容（互斥）
若事件A与B不能同时发生，即A∩B=,则称A与B互不相容（或互斥），记作A∩B=或AB=，图1-5表示了A,B的互斥关系。
7对立（互逆）
若事件A,B不能同时发生，且必有一个发生，即A,B满足AB=且A∪B=Ω,则称A与B互为对立事件（或互逆事件），记作A=B或B=A，即A的对立事件A就是A不发生的事件:
A={ωωA}=Ω-A，
图1-6（阴影部分）表示了A的对立事件为B。
8完备事件组
若有限个或可列个事件A1,A2,…,An,…满足AiAj=(i≠j),且∪∞i=1Ai=Ω,则称A1,A2,…,An,…构成一个完备事件组。
（三）事件运算的性质
1交换律
A∪B=B∪A,AB=BA。
2结合律
(A∪B)∪C=A∪(B∪C)=A∪B∪C,
(AB)C=A(BC)=ABC。
3分配律
A(B∪C)=AB∪AC,
A∪(BC)=(A∪B)(A∪C),
A(B-C)=AB-AC,
A(∪ni=1Ai)=∪ni=1AAi。
4对偶律（德摩根律）
A∪B=A∩B,A∩B=A∪B。
5吸收律
A∩(A∪B)=A,A∪(A∩B)=A。
6双重否定律
A=A。
7差积转换律
A-B=AB。
二、随机事件的概率
（一）概率的相关概念
1频率的概念
在相同的条件下，进行了n次试验，在这n次试验中，事件A发生的次数nA称为事件A发生的频数。比值nAn称为事件A发生的频率，并记成fn(A)。
频率具有下述基本性质：
①0≤fn(A)≤1;
②fn(Ω)=1;
③若A1,A2,…,Ak是两两互不相容的事件，则
fn(A1∪A2∪…∪Ak)=fn(A1)+fn(A2)+…+fn(Ak)。
由于事件A发生的频率是它发生的次数与试验次数之比，其大小表示A发生的频繁程度。频率大，事件A的发生就频繁，这意味着事件A在一次试验中发生的可能性就大。反之亦然。
2概率的概念
视频讲解设E是随机试验，Ω是它的样本空间。对于E的每一事件A赋予一个实数,记为P(A)，称为事件A的概率。如果集合函数P(·)满足下列条件：
①非负性：对于每一个事件A,有P(A)≥0;
②规范性：对于必然事件Ω，有P(Ω)=1;
③可列可知性：设A1,A2,…是两两互不相容的事件，即对于AiAj=,i≠j,i,j=1,2,…,有
P(A1∪A2∪…)=P(A1)+P(A2)+…。
（二）概率的性质
1有界性
对于不可能事件,P()=0;对于必然事件Ω,P(Ω)=1。
2有限可加性
若A1,A2,…,An两两互斥，则有P(∪ni=1Ai)=∑ni=1P(Ai)。
3减法公式
P(A-B)=P(A)-P(AB)。
特别地，当BA时，有
P(A-B)=P(A)-P(B),从而P(B)≤P(A)。
4加法公式
P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)。
5广义加法公式
P(∪ni=1Ai)=∑ni=1P(Ai)-∑1≤i 特别地，有
P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)。
6求逆公式
P(A)=1-P(A)。
（三）概率的类型
1古典型概率
（1）古典型概率随机试验特征：基本事件等可能，样本空间由有限个元素或基本事件组成。
（2）古典型概率计算公式：若事件A包含k个基本事件,即A={ei1}∪{ei2}∪…∪{eik}，这里i1,i2,…，ik是1,2,…,n中某k个不同的数。则有
P(A)=∑kj=1P({eij})=kn=A包含的基本事件数Ω中基本事件的总数。
2几何型概率
（1）几何型概率随机试验特征：基本事件等可能，样本空间含有的基本事件有无穷多个。
（2）几何概率计算公式：若试验E的样本空间Ω为几何空间中的一个有界区域（这个区域可以是一维、二维、三维，甚至n维的），且Ω中每个样本点，即基本事件出现的可能性相同，则称试验E为几何概型，此时，事件A的概率定义为
P(A)=A的度量（长度、面积、体积）Ω的度量（长度、面积、体积）。
3条件概率
视频讲解（1）条件概率的概念：设A,B是两个事件，且P(A)＞0,称
P(BA)=P(AB)P(A)
为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率。
条件概率P（·A）符合概率定义中的三个条件，即
①非负性：对于每一事件B，有P(BA)≥0;
②规范性：对于必然事件Ω，有P(ΩA)=1；
③可列可加性：设B1,B2,…是两两互不相容的事件，则有
P(∪∞i=1BiA)=∑∞i=1P(BiA)。
（2）乘法公式：设P(A)＞0,则有P(AB)=P(BA)P(A)。
（3）全概率公式：设试验E的样本空间为Ω,A为E的事件，B1,B2,…,Bn为Ω的一个划分，且P(Bi)＞0,i=1,2,…,n，则
P(A)=P(AB1)P(B1)+P(AB2)P(B2)+…+P(ABn)P(Bn)。
(4)贝叶斯（Bayes）公式：设试验E的样本空间为Ω。A为E的事件，B1,B2,…,Bn为Ω的一个划分，且P(A)＞0,P(Bi)＞0,i=1,2,…,n,则
P(BiA)=P(ABi)P(Bi)∑nj=1P(ABj)P(Bj),i=1,2,…,n。
三、事件的独立性
（一）事件独立性的概念
（1）对于两个事件A,B，如果P(AB)=P(A)P(B),则称事件A与B相互独立。
（2）对于n个事件A1,A2,…,An,如果其中任意两个事件相互独立,即对任意的1≤i P(AiAj)=P(Ai)P(Aj)，
则称A1,A2,…,An两两独立。
（3）对于n个事件A1,A2,…,An,如果其中任意k(2≤k≤n)个事件Ai1,Ai2,…,Aik，均有
P(Ai1Ai2…Aik)=P(Ai1)P(Ai2)…P(Aik),1≤i1 则称A1,A2,…,An相互独立。
（4）对于事件序列{An}（n≥1）,如果对任意正整数n(n≥2),事件A1,A2,…,An相互独立,则称事件序列{An}（n≥1）相互独立。
（二）独立事件的性质
（1）若A与B相互独立，则A与B,A与B，A与B也相互独立。
（2）若A1,A2,…,An相互独立，则其中任意m(2≤m≤n)个事件也相互独立。
（3）若A1,A2,…,An相互独立,则
P(A1A2…An)=∏ni=1P(Ai),
P(A1∪A2∪…∪An)=1-∏ni=1P(Ai)。
（三）独立重复试验的概念
（1）如果试验E1和E2分别产生的任意两个事件A1和A2都相互独立，则称试验E1，E2相互独立，即一个试验结果的发生不影响另一个试验结果的发生。
（2）对于n个试验E1,E2,…，En,如果它们分别产生的事件A1,A2,…,An都相互独立,则称n个试验E1，E2,…,En相互独立。
（四）伯努利概型
1伯努利概型只考虑两个对立的结果
A(成功)和A(失败)的试验称为伯努利概型，将一个伯努利试验独立重复进行n次就称为一个n重（次）伯努利试验,或n重伯努利概型，有时也简称为伯努利概型。在这里，“独立”是指试验之间相互独立，“重复”是指每次试验中A发生的概率保持不变。
2伯努利概型概率计算公式
在n重伯努利概型中，设P(A)=p,则n次试验中A发生k次的概率为
Pn(k)=Cknpk(1-p)n-k,k=0,1,…,n。
一、随机事件
【例11】写出下列试验的样本空间：
（Ⅰ）掷一枚骰子，观察朝上一面的点数；
（Ⅱ）观察某电话交换
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