《中公版·2021考研数学:高等数学专项辅导（数学一、二适用）》是针对参加2021年考研数学考试的考生编写的一本专项图书，书中包含了考研数学大纲规定的高等数学的全部考点。
全书共分八章，每章包含六个模块。【学习提要】和【考试要求】简单分析了本章知识点与其他章节之间的联系以及考试大纲对各考点的具体要求。【本章知识框架图】再现了本章知识网络。【基础知识讲解】从浅显的角度切入，详细地讲解本章涉及的基本概念、重要定理和性质，核心考点附有二维码，考生扫码即可听微课。【典型例题与方法技巧】对各考点涉及的题型做了细致的分类。【本章同步练习题】与“同步练习题答案解析”相配套，筛选了适量习题，供考生自测学习效果，个别题目附有二维码，考生扫码可听题目视频讲解。

函数是高等数学的研究对象，极限是高等数学的理论基础，连续性是可导与可积的重要条件，所以函数、极限和连续都是高等数学的基础内容。这部分知识在考研试题中以选择题或填空题为主。值得注意的是，接下来的各章节仍然会涉及函数、极限、连续的概念，并且会在综合题中用到极限和闭区间上连续函数的相关性质，考生在复习的时候要灵活掌握，在了解理论的基础上融会贯通。
1.理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立应用问题的函数关系。
2.了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性。
3.理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。
4.掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念。
5.理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左、右极限之间的关系。
6.掌握极限的性质及四则运算法则。
7.掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。
8.理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷小量求极限。
9.理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。
10.了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、大值和小值定理、介值定理），并会应用这些性质。
一、函数
（一）函数的概念及表示法
1.函数的概念
设数集DR，则称映射f：D→R为定义在D上的函数，记为y=f（x），x∈D，其中x称为自变量，y称为因变量，D称为定义域。
2.函数的表示法
表示函数的主要方法有三种：解析法（公式法）、表格法、图形法。
（1）解析法（公式法）：用数学式表示自变量和因变量之间对应关系的方法。
（2）表格法：将一系列的自变量值与对应的函数值列成表来表示函数关系的方法。
（3）图形法：用坐标平面上的点集{P（x，y）y=f（x），x∈D}来表示函数的方法。
（二）函数的性质
1.单调性
设函数f（x）的定义域为D，区间（a，b）D，则有下述两个结论：
（1）若对任意的x1，x2∈（a，b），当x1f（x2）），则称f（x）在（a，b）上单调递增（或单调递减）。
（2）若对任意的x1，x2∈（a，b），当x1 判定方法：①f（x1）与f（x2）作差与0比较（或作商与1比较）；②可导函数f（x）单调不减（不增）的充分必要条件是f ′（x）≥0（f ′（x）≤0）。
2.有界性
（1）若存在常数M，使f（x）≤M，x∈D，则称f（x）有上界。
（2）若存在常数m，使f（x）≥m，x∈D，则称f（x）有下界。
（3）若f（x）既有上界又有下界，则称f（x）有界。
结论：①f（x）有界的充分必要条件为存在常数M＞0，使得对于任一x都有f（x）≤M；②闭区间上的连续函数一定有界（有界性定理）；③函数有极限（收敛）局部有界；④有界是可积的必要条件（可积一定有界，反之不然）。
注：可积是相对定积分而言的，而反常积分考虑的是敛散性，二者要区分开。
3.奇偶性
设函数f（x）的定义域D关于原点对称。如果对于任一x∈D，都有f（－x）=f（x），则称f（x）为偶函数；如果对于任一x∈D，都有f（－x）=－f（x），则称f（x）为奇函数。
注： f（x）-f（-x）为奇函数， f（x）+f（-x）为偶函数。
结论：①若f（x）为可积的奇函数，则∫a-af（x）dx=0;
②若f（x）为可积的偶函数，则∫a-af（x）dx=2∫a0f（x）dx;
③若f（x）为一般可积函数，则∫a-af（x）dx=∫a0［f（x）+f（-x）］dx。
注：当遇到积分的上下限互为相反数时，应优先考虑利用被积函数的奇偶性简化计算。
4.周期性
设函数f（x）的定义域为D，如果存在一个正数T，使得对任一x∈D，有x±T∈D，且f（x+T）=f（x）恒成立，则称f（x）为周期函数，T称为f（x）的周期。一般周期函数的周期是指小正周期。
注：周期函数未必有小正周期。例如，狄利克雷函数的周期是任意正有理数。
结论：①可导的周期函数的导函数仍然是周期函数，且周期不变；②若f（x）是以T为周期的连续函数，则∫a+Taf（x）dx=∫T0f（x）dx。
（三）常见函数
1.基本初等函数
幂函数：y=xμ（μ∈R）;
指数函数：y=ax（a>0且a≠1）;
对数函数:y=logax（a>0且a≠1。当a=e时，记为y=lnx；当a=10时，记为y=lgx）;
三角函数：如y=sinx，y=cosx，y=tanx等;
反三角函数：如y=arcsinx，y=arccosx，y=arctanx等。
2.初等函数
由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数，称为初等函数。例如y=sinx+ex。
3.反函数
设函数y=f（x）的定义域为D，其值域为f（D）。如果对于每一个y∈f（D），都有唯一确定的x∈D，使得y=f（x）（我们将该对应法则记作f -1），则这个定义在f（D）上的函数x=f -1（y）就称为函数y=f（x）的反函数。
注：①不是所有的函数都有反函数。函数y=f（x），x∈D存在反函数的充要条件是对于定义域D中任意两个不相等的自变量x1，x2，有f（x1）≠f（x2）。一般来说，严格单调的函数一定有反函数。
②在同一坐标平面上，函数y=f（x）与其反函数y=f-1（x）的图像关于直线y=x对称。
4.隐函数
如果变量x，y满足方程F（x，y）=0，在给定条件下，当x取某区间的任一值时，相应地总有满足该方程的唯一的y值与之对应，则说明方程F（x，y）=0在该区间内确定了一个隐函数。
5.复合函数
设函数y=f（u）的定义域是Df，函数u=φ（x）的定义域是Dφ，且其值域RφDf，则称函数y=f［φ（x）］为复合函数，它的定义域是{xx∈Dφ}，u称为中间变量，x称为自变量。
6.分段函数
用解析法表示的函数，若在其定义域D的各个不相交的子集上，分别用不同的式子表示，则该函数称为分段函数。
常见的分段函数：
（1）绝对值函数y=x=x，x≥0，-x，x<0。
（2）大值函数y=max{f1（x），f2（x）}=f1（x），{xf1（x）≥f2（x）}，f2（x），{xf1（x） 小值函数y=min{f1（x），f2（x）}=f2（x），{xf1（x）≥f2（x）}，f1（x），{xf1（x） （3）取整函数y=［x］或y=int x，它表示不超过x的大整数。
（4）符号函数y=sgnx=1，x>0，0，x=0，-1，x<0。
（5）狄利克雷（Dirichlet）函数y=D（x）=1，x是有理数，0，x是无理数。
二、极限
（一）极限的概念
1.数列极限
设{xn}为一数列，a为一常数，则limn→∞xn=a对任意的ε>0，存在正整数N，当n>N时，有xn-a<ε。
2.函数极限
（1）设函数f（x）的定义域为R，A为一常数，则limx→∞f（x）=A对任意的ε>0，存在X>0，当x>X时，有f（x）-A<ε。
类似可定义limx→+∞f（x）=A，limx→-∞f（x）=A。
视频讲解（2）设函数f（x）在点x0的某一去心邻域内有定义，A为一常数，则limx→x0f（x）=A对任意的ε>0，存在δ>0，当0 类似可定义limx→x-0 f（x）=A，limx→x+0 f（x）=A。
3.函数的单侧极限
若存在常数A，对于任意给定的正数ε>0，总存在δ>0，使得当0 limx→x+0 f（x）=A，或f（x+0）=A，或f（x0+0）=A；
若存在常数A，对于任意给定的正数ε>0，总存在δ>0，使得当-δ limx→x-0 f（x）=A，或f（x-0）=A，或f（x0-0）=A。
结论：当x→x0时，函数f（x）极限存在的充分必要条件是左极限及右极限都存在且相等，即
f（x-0）=f（x+0）=A。
因此，即使f（x-0）和f（x+0）都存在，但若不相等，那么limx→x0 f（x）不存在。
（二）极限的性质
1.数列收敛的性质
（1）唯一性：如果数列{xn}收敛，那么它的极限唯一。
（2）收敛数列的有界性：如果数列｛xn｝收敛，那么数列{xn}一定有界。
（3）收敛数列的保号性：如果limn→∞xn=a，且a>0（或a<0），那么存在正整数N，当n>N时，都有xn>0（或xn<0）。
2.函数极限的性质
（1）唯一性：设limx→x0 f（x）=A，limx→x0 f（x）=B，则A=B。
（2）局部有界性：设limx→x0 f（x）=A，则存在δ>0和M>0，使当0 （3）局部保号性：设limx→x0 f（x）=A，且A>0（或A<0），则存在δ>0，使当00（或f（x）<0），反之，若f（x）≥0（或f（x）≤0），且limx→x0 f（x）=A存在，则A≥0（或A≤0）。
推论若limx→x0 f（x）=A（A≠0），那么就存在x0的某一去心邻域Uο（x0），当x∈Uο（x0）时，有
f（x）>A2。
（三）极限存在准则
1.夹逼准则
如果数列{xn}，{yn}及{zn}满足条件：①存在n0∈N，当n>n0时，有yn≤xn≤zn；②limn→∞yn=limn→∞zn=a，则数列{xn}的极限存在，且limn→∞xn=a。
2.单调有界准则
设数列{xn}单调增加（减少）且有上（下）界M（m），则limn→∞xn存在且limn→∞xn≤M（≥m）。
上述两个极限存在准则可以推广到函数的极限。
（四）极限的四则运算法则
设有函数f（x），g（x），如果在自变量的同一变化过程中，有limf（x）=A，limg（x）=B，则
（1）lim［f（x）±g（x）］=limf（x）±limg（x）=A±B;
（2）lim［f（x）·g（x）］=limf（x）·limg（x）=AB;
（3）limf（x）g（x）=limf（x）limg（x）=AB（B≠0）;
（4）lim［cf（x）］=climf（x），其中c为任意常数；
（5）若limf（x）存在，则对任一正整数n，有lim［f（x）］n=［limf（x）］n。
（五）两个重要极限
（1）limx→0sinxx=1。
（2）limx→0（1+x）1x=e或limx→∞1+1xx=e。
（六）无穷小量、无穷大量
1.概念
视频讲解无穷小量:若limx→x0 f（x）=0（或limx→∞f（x）=0），则称函数f（x）是当x→x0（或x→∞）时的无穷小量，简称无穷小。
无穷大量:若limx→x0 f（x）=∞（或limx→∞ f（x）=∞），则称函数f（x）是当x→x0（或x→∞）时的无穷大量，简称无穷大。
2.无穷小量的性质
（1）在自变量的同一变化过程中，如果f（x）为无穷大，则1f（x）为无

第一章函数、极限、连续
学习提要
考试要求
本章知识框架图
基础知识讲解
一、函数
二、极限
三、连续
典型例题与方法技巧
一、函数
二、极限
三、函数连续性与间断点
本章同步练习题
一、选择题
二、填空题
三、解答题
同步练习题答案解析
第二章一元函数微分学
学习提要
考试要求
本章知识框架图
基础知识讲解
一、导数与微分
二、微分中值定理
三、导数的应用
典型例题与方法技巧
一、导数与微分
二、微分中值定理
三、导数的应用
本章同步练习题
一、选择题
二、填空题
三、解答题
同步练习题答案解析
第三章一元函数积分学
学习提要
考试要求
本章知识框架图
基础知识讲解
一、不定积分
二、定积分
三、反常积分
典型例题与方法技巧
一、不定积分
二、定积分
三、反常积分
本章同步练习题
一、选择题
二、填空题
三、解答题
同步练习题答案解析
第四章向量代数和空间解析几何（数一）
学习提要
考试要求
本章知识框架图
基础知识讲解
一、向量代数
二、空间平面与直线
三、曲面与空间曲线
典型例题与方法技巧
一、向量代数
二、空间平面与直线
三、曲面与空间曲线
本章同步练习题
一、选择题
二、填空题
三、解答题
同步练习题答案解析
第五章多元函数微分学
学习提要
考试要求
本章知识框架图
基础知识讲解
一、多元函数的相关概念
二、偏导数
三、全微分
四、多元函数微分学的应用
典型例题与方法技巧
一、多元函数的相关概念
二、偏导数与全微分
三、多元函数微分学的应用
本章同步练习题
一、选择题
二、填空题
三、解答题
同步练习题答案解析
第六章多元函数积分学
学习提要
考试要求
本章知识框架图
基础知识讲解
一、二重积分
二、三重积分（数一）
三、曲线积分（数一）
四、曲面积分（数一）
典型例题与方法技巧
一、二重积分
二、三重积分（数一）
三、曲线积分（数一）
四、曲面积分（数一）
本章同步练习题
一、选择题
二、填空题
三、解答题
同步练习题答案解析
第七章无穷级数（数一）
学习提要
考试要求
本章知识框架图
基础知识讲解
一、常数项级数
二、幂级数
三、傅里叶级数
典型例题与方法技巧
一、常数项级数
二、幂级数
三、傅里叶级数
本章同步练习题
一、选择题
二、填空题
三、解答题
同步练习题答案解析
第八章常微分方程
学习提要
考试要求
本章知识框架图
基础知识讲解
一、微分方程的基本概念
二、一阶微分方程求解
三、可降阶的高阶微分方程
四、高阶线性微分方程
五、欧拉方程（数一）
典型例题与方法技巧
一、一阶微分方程
二、可降阶的高阶微分方程
三、高阶线性微分方程
四、欧拉方程（数一）
五、常微分方程的应用
本章同步练习题
一、选择题
二、填空题
三、解答题
同步练习题答案解析