考研数学必斩100题（数学一）
考研数学必斩100题（数学一）
1.计算下列极限：
（1）limx→0 1+tanx-1+xarcsinx3；（2）limx→0 ex-earctanx［x-ln（1+x）］（arctanx+cosx）。
作答区域
总结提升
先用等价无穷小替换公式及四则运算法则将极限式化简，再通过洛必达法则求极限值。
（1）limx→0 1+tanx-1+xarcsinx3=limx→0 tanx-xarcsinx3·（1+tanx+1+x）
=limx→0 11+tanx+1+x·limx→0 tanx-xarcsinx3=12limx→0 tanx-xx3
=12limx→0 sec2x-13x2=12limx→0 tan2x3x2=16。
（2）limx→0 ex-earctanx［x-ln（1+x）］（arctanx+cosx）=limx→0 1arctanx+cosx·limx→0 ex（1-earctanx-x）x-ln（1+x）
=limx→0 ex·limx→0 x-arctanxx-ln（1+x）=limx→0 1- 11+x21- 11+x
=limx→0 x（1+x）1+x2=0。
①如果要用洛必达法则计算00型极限，需要在求导之前先通过等价无穷小替换公式和四则运算法则对极限式进行充分的化简。
②四则运算法则使用的关键是保证各部分的极限均存在并且拆分之后不会出现未定式，但在实际解答中，运用四则运算法则计算极限时并不需要全部验证每一部分的极限是否存在，一般在加法中，如果相加的两部分有任何一部分的极限存在，就可以运用四则运算法则进行拆分；在乘法中，如果相乘的两部分有任何一部分趋于一个非零常数，则可以运用四则运算法则进行拆分。具体公式如下：
a.假设limx→□ f（x）=A，则有limx→□ ［f（x）+g（x）］=limx→□ f（x）+limx→□ g（x）=A+limx→□ g（x）；
b.假设limx→□ f（x）=A≠0，则有limx→□ f（x）g（x）=limx→□ f（x）·limx→□ g（x）=A·limx→□ g（x）。
③极限式中出现根号时，进行分子或分母有理化是一个基本的变形化简技巧。
2.设x1=2，2xn+1=3+x2n（n=1，2，…），试证数列{xn}的极限存在并求此极限。
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总结提升
对于通过递推公式给出的极限，基本思路是先证明极限存在，设出极限值，再在等式两边同时取极限，得到关于极限值的方程，然后解方程得到极限。证明极限存在时，需要用到单调有界准则，即证明数列单调递增且有上界或单调递减且有下界。
先证有界性。x1=2>1，x2=72>1，假设xk>1，则xk+1=3+x2k2>3+12=1，由数学归纳法可知xn>1（n=1，2，…）。
再证单调性。xn+1-xn=3+x2n2 -xn=3+x2n-（2xn）22（3+x2n+2xn）=3（1-x2n）2（3+x2n+2xn），因xn>1，则xn+1-xn<0，即数列{xn}单调递减。综上，{xn}单调递减有下界，则由单调有界准则可知，limn→∞ xn存在。
设极限为A，在等式2xn+1=3+x2n两端同时令n→∞可得，limn→∞ 2xn+1=limn→∞ 3+x2n，即2A=3+A2，解得A=1，即limn→∞ xn=1。
①这类题型的难点在于如何证明数列单调有界。在思考过程中，可以先求出极限值，从极限值与数列前几项的大小关系判断数列单调递增还是单调递减、有上界还是有下界，以及上界或下界各是多少。比如本题，可以先在稿纸上求出极限为1，将其和数列的前几项对比之后发现，数列的前几项都大于1，由此可以猜测，数列应该是单调递减的，并且1是其下界，即本题主要证明xn+11。
②证明时，一般先证有界性，再证单调性，证明有界性往往会用到数学归纳法。
3.设函数f（x）=x+aln（1+x）+bxsinx，g（x）=kx3，若f（x）与g（x）在x→0时是等价无穷小，求a，b，k的值。
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总结提升
根据题意可知limx→0 x+aln（1+x）+bxsinxkx3=1。由泰勒公式可得
limx→0 x+ax- x22 + x33 +o（x3）+bx［x+o（x2）］kx3=1，
整理可得limx→0 （1+a）x+b- a2x2+ a3x3+o（x3）kx3=1，
从而有1+a=0，b- a2=0，a3k=1，即a=-1，b=- 12，k=- 13。
①无穷小的比较本质上考查的是极限的计算。
②本题解析中的sinx=x+o（x2），这是因为分母是三阶的，所以分子每一项展开到三阶即可，而式中sinx前有因子x，故只需展开到二阶即可。sinx的展开式中x的下一项是三次因式，故选择把它写成o（x2）。
4.设{an}，{bn}，{cn}均为非负数列，且limn→∞ an=0，limn→∞ bn=1，limn→∞ cn=∞，则必有（）。
（A）an （C）极限limn→∞ ancn不存在（D）极限limn→∞ bncn不存在
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总结提升
由于limn→∞ bn=1，假设limn→∞ bncn存在并记为A，则limn→∞ cn=limn→∞ bncnbn=A，这与limn→∞ cn=∞矛盾，故假设不成立，limn→∞ bncn不存在。故选D。
①A，B两项容易和极限的保号性混淆，根据保号性limn→∞ an0，当n>N时，有anN）才成立，无法保证对每一项都成立。
②结合本题的推理过程和极限的四则运算法则，我们可以总结出如下结论：
收敛+收敛=收敛，收敛+发散=发散，发散+发散=；
收敛×收敛=收敛，收敛×发散=发散，若收敛≠0，，若收敛=0，发散×发散=。
5.f(x)=e1x－1ln1+x(ex－1)(x－2)第二类间断点的个数为（）。
（A）1（B）2（C）3（D）4
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总结提升
判断函数在某一点的间断点的类型，需计算出函数在该点的左右极限，再与间断点的分类标准对照。本题不是判断指定点的间断点类型，需要考生自行寻找间断点，再判断其类型；难点是如何找全间断点。一般来说，函数可能的间断点有两类：一是分段函数的分段点；二是初等函数中的函数运算无意义的点（主要有分母为零、对数函数的真数为零等）。这样的点称为“可疑点”。计算时，需要先找出所有的“可疑点”，再逐一判断。就本题而言，这样的点有四个：－1，0，1，2。
f(x)可能的间断点有x=－1,x=0,x=1,x=2。因为limx→－1ln1+x=－∞，limx→－1e1x－1(ex－1)(x－2)≠0，则limx→－1 f(x)=∞，所以x=－1为f(x)的第二类（无穷）间断点；
因为limx→0f(x)=limx→0e1x－1xx(x－2)=- 12e，又f(x)在x=0处无定义，所以x=0为f(x)的第一类（可去）间断点；
因为limx→1+e1x－1=+∞，limx→1+ln(1+x)(ex－1)(x－2)≠0，则limx→1+f(x)=∞，所以x=1为f(x)的第二类（无穷）间断点；
因为limx→21x－2=∞，limx→2e1x－1ln(1+x)ex－1≠0，则limx→2f(x)=∞，所以x=2为f(x)的第二类（无穷）间断点。综上所述，函数f(x)的第二类间断点有3个，故选C。
考研数学必斩100题（数学一）
考研数学必斩100题（数学一）
如果题目中没有指明间断点，基本步骤是先找“可疑点”（包括两类，一是分段函数的分段点，二是使得分式的分母为零或使得对数函数的真数为零的点），再逐一判断其类型。
6.曲线y=1x +ln（1+ex）的渐近线的条数为（）。
（A）0（B）1（C）2（D）3
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总结提升
首先找垂直渐近线，由定义可知，这基本等价于找函数的无穷间断点；然后再找水平渐近线和斜渐近线，这需要分x→+∞和x→-∞两种情形。由于在同一侧，水平渐近线和斜渐近线多只能有一条，而且水平渐近线的计算比斜渐近线简单，因此先检验是否存在水平渐近线，这只需要检验函数自身的极限是否存在，如果存在水平渐近线，则在该侧不需要再计算斜渐近线，如果不存在水平渐近线，再找斜渐近线。
因为limx→0 1x +ln（1+ex）=limx→0 1x +limx→0 ln（1+ex）=∞，所以x=0是一条垂直渐近线；
因为limx→-∞ 1x +ln（1+ex）=limx→-∞ 1x +limx→-∞ ln（1+ex）=0+0=0，所以y=0是沿x→-∞方向的一条水平渐近线；
令k=limx→+∞ 1x +ln（1+ex）x=limx→+∞ 1x2 + ln（1+ex）x
=limx→+∞ 1x2 +limx→+∞ ln（1+ex）x 洛必达法则 0+limx→+∞ ex1+ex1=1，
令b=limx→+∞ 1x +ln（1+ex）-x=limx→+∞ 1x +limx→+∞ ［ln（1+ex）-x］
x=lnex 0+limx→+∞ ［ln（1+ex）-lnex］=limx→+∞ ln1+exex=0，
所以y=x是曲线的斜渐近线。综上所述，曲线的渐近线共有3条，故选D。
计算函数所有渐近线的基本思路：
①先找所有可疑间断点，逐一计算左、右极限，从而确定所有的垂直渐近线；
②对x→+∞和x→-∞分别进行如下步骤：先检验极限limx→+∞ f（x）是否存在，如果存在，则存在水平渐近线，计算停止；如果极限limx→+∞ f（x）不存在，则继续求极限k=limx→+∞ f（x）x和b=limx→+∞ ［f（x）-kx］，如果这两个极限都存在，则存在斜渐近线，如果这两个极限有任何一个不存在，则在该侧不存在斜渐近线。
对于能确定x→+∞和x→-∞的极限相同的函数，也可以把两侧合并起来计算。
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