1计算下列极限：
（1）limx→0 tanx-arcsinxx3；（2）limx→0 tan2x-2arcsinxsinx-arctanx；
（3）limx→0 e- x22-cosxx2-sin2x。作答区域总结提升
（1）limx→0 tanx-arcsinxx3=limx→0 x+ 13x3+o（x3）-x+ 16x3+o（x3）x3
=limx→0 16x3+o（x3）x3=16。
（2）limx→0 tan2x-2arcsinxsinx-arctanx=limx→0 2x+ 13（2x）3+o（x3）-2x+ 16x3+o（x3）x- 16x3+o（x3）-x- 13x3+o（x3）
=limx→0 73x3+o（x3）16x3+o（x3）=14。
（3）limx→0 e- x22-cosxx2-sin2x=limx→0 1- x22 + 12- x222+o（x4）-1- x22 + x424 +o（x4）（x-sinx）（x+sinx）
=limx→0 112x4+o（x4）x-x+ 16x3+o（x3）·［x+x+o（x）］=limx→0 112x4+o（x4）16x3+o（x3）·［2x+o（x）］=14。
①在运用等价无穷小替换公式和四则运算法则对极限式进行充分化简后，除了运用洛必达法则进行计算，泰勒公式也是常用方法。与洛必达法则相比，泰勒公式在处理更为复杂的极限问题时往往效率更高。
②运用泰勒公式求极限的一般步骤：展开，合并，替换。
③使用泰勒公式的关键在于确定展开的阶数，原则有两点：第一，上下同阶，即如果分子分母有任何一边的阶数已知，则另一边直接展开到对应的阶数；第二，多退少补，即如果分子分母阶数均未知，则先进行尝试，直到能确定其阶数为止（展开式合并之后恰好只剩下一项为宜）。
2计算下列极限：
（1）limx→0 1sin2x - 1x2；（2）limx→∞ kx-x2ln1+ kx（k≠0）；
（3）limx→+∞ （x+x+x-x+x）。
作答区域总结提升∞-∞型的未定式，转化为00或∞∞型的未定式再进行计算。
（1）limx→0 1sin2x - 1x2=limx→0 x2-sin2xx2sin2x=limx→0 （x-sinx）（x+sinx）x4，
当x→0时，
x+sinx=x+x+o（x）=2x+o（x）～2x，
x-sinx=x-x- 16x3+o（x3）=16x3+o（x3）～16x3，
则原式=limx→0 16x3·2xx4=13。
（2）limx→∞ kx-x2ln1+ kxt=1xlimt→0 kt - ln（1+kt）t2=limt→0 kt-ln（1+kt）t2
=limt→0 k- k1+kt2t=k22。
（3）limx→+∞ （x+x+x-x+x）有理化 limx→+∞ x+x-xx+x+x+x+x
=limx→+∞ x（x+x+x+x+x）（x+x+x）=limx→+∞ x2x·2x=0。
将∞-∞型未定式转化为00或∞∞型未定式的常见方法有三种：如果有分母，则直接通分，一般可以将其化为00型未定式；如果没有分母，则考虑是否可以通过变量代换（一般是倒代换）“制造”出分母，再进行通分；如果极限式中有根式，则可以考虑有理化。
3计算极限limn→∞ ∑ni=1 arcsininn+ 1i。
作答区域总结提升由于大的分母和小的分母相除的极限为1，则首先使用夹逼准则来计算极限。对于放缩之后的极限式，可以进一步化为定积分再进行计算。
易知∑ni=1 arcsininn+1≤∑ni=1 arcsininn+ 1i≤∑ni=1 arcsininn，
由定积分的定义可知limn→∞ ∑ni=1 arcsininn=∫10arcsinxdx。
再用分部积分法计算定积分可得
∫10arcsinxdx=xarcsinx10-∫10xd（arcsinx）=π2 -∫10x1-x2dx=π2 -1。
limn→∞ ∑ni=1 arcsininn+1=limn→∞ nn+1∑ni=1 arcsininn=∫10arcsinxdx=π2 -1。
则由夹逼准则可知limn→∞ ∑ni=1 arcsininn+ 1i=π2 -1。
4计算下列极限：
（1）limx→∞ x2（x+a）（x+b）x；（2）limx→0 2- tanxx1x2。
作答区域总结提升
（1）limx→∞ x2（x+a）（x+b）x=elimx→∞ xx2（x+a）（x+b） -1=elimx→∞ x-（a+b）x-ab（x+a）（x+b）=e-a-b。
（2）limx→0 2- tanxx1x2=elimx→0 1x21- tanxx=elimx→0 x-tanxx3=elimx→0 - 13x3x3=e- 13。
假设limx→□ u（x）v（x）为1∞型，即当limx→□ u（x）=1，limx→□ v（x）=∞时，有limx→□ ev（x）lnu（x）=limx→□ ev（x）ln［1+u（x）-1］=limx→□ ev（x）［u（x）-1］，其中后一步是因为limx→□ ［u（x）-1］=0，则ln［1+u（x）-1］～u（x）-1，因此有公式limx→□ u（x）v（x）=exp{limx→□ ［u（x）-1］v（x）}。在确保极限为1∞型时，可以直接使用该公式进行计算。5设x1=2，2xn+1=3+x2n（n=1，2，…），试证数列{xn}的极限存在并求此极限。
作答区域总结提升对于通过递推公式给出的极限，基本思路是先证明极限存在，设出极限值，再在等式两边同时取极限，得到关于极限值的方程，然后解方程得到极限。证明极限存在时，需要用到单调有界准则，即证明数列单调递增且有上界或单调递减且有下界。
先证有界性。x1=2>1，x2=72>1，假设xk>1，则xk+1=3+x2k2>3+12=1，由数学归纳法可知xn>1（n=1，2，…）。
再证单调性。xn+1-xn=3+x2n2 -xn=3+x2n-（2xn）22（3+x2n+2xn）=3（1-x2n）2（3+x2n+2xn），因xn>1，则xn+1-xn<0，即数列{xn}单调递减。综上，{xn}单调递减有下界，则由单调有界准则可知，limn→∞ xn存在。
设极限为A，在等式2xn+1=3+x2n两端同时令n→∞可得，limn→∞ 2xn+1=limn→∞ 3+x2n，即2A=3+A2，解得A=1，即limn→∞ xn=1。
①这类题型的难点在于如何证明数列单调有界。在思考过程中，可以先求出极限值，从极限值与数列前几项的大小关系判断数列单调递增还是单调递减、有上界还是有下界，以及上界或下界各是多少。比如本题，可以先在稿纸上求出极限为1，将其和数列的前几项对比之后发现，数列的前几项都大于1，由此可以猜测，数列应该是单调递减的，并且1是其下界，即本题主要证明xn+11。
②证明时，一般先证有界性，再证单调性，证明有界性往往会用到数学归纳法。
6（1）计算limn→∞ n11+n2 + 122+n2 +…+ 1n2+n2=。
（2）limn→∞ nn2+1 + nn2+2 +…+ nn2+n=。
作答区域总结提升
（1）原式=limn→∞ 1n∑ni=1 11+in2=∫10dx1+x2=arctanx10=π4。
（2）因为n2n2+n≤nn2+1 + nn2+2 +…+ nn2+n≤n2n2+1，
又因为limn→∞ n2n2+n=limn→∞ n2n2+1=1，故由夹逼准则可得
limn→∞ nn2+1 + nn2+2 +…+ nn2+n=1。
①使用夹逼准则的基本步骤：先两边夹（将函数夹在其他两个函数之间），再逼近（求两边函数的极限，如果极限一样，则可以得到中间函数的极限）。
②由于在各项均非负的情况下，分母越小，分式的值越大；分母越大，分式的值越小，因此对于n项分式相加的极限，可以对分母进行放缩。
③定积分求极限的基本公式limn→∞ ∑ni=1 f in1n=∫10f（x）dx。
④两题从形式上看很相似，但所用的方法不相同，一个是先放缩，再通过夹逼准则进行计算，另一个运用了定积分的定义。这恰好是我们在计算n项分式求和的极限时的两个主要方法。如果大的分母和小的分母相除所得分式的极限等于1，则使用夹逼准则计算，因为此时两端的极限值肯定是相同的（如（2））；如果大的分母和小的分母相除所得分式的极限不等于1，则凑成定积分的定义计算（如（1））。7设函数f（x）=x+aln（1+x）+bxsinx，g（x）=kx3，若f（x）与g（x）在x→0时是等价无穷小，求a，b，k的值。
作答区域总结提升
根据题意可知limx→0 x+aln（1+x）+bxsinxkx3=1。由泰勒公式可得
limx→0 x+ax- x22 + x33 +o（x3）+bx［x+o（x2）］kx3=1，
整理可得limx→0 （1+a）x+b- a2x2+ a3x3+o（x3）kx3=1，
从而有1+a=0，b- a2=0，a3k=1，即a=-1，b=- 12，k=- 13。
①无穷小的比较本质上考查的是极限的计算。
②本题解析中的sinx=x+o（x2），这是因为分母是三阶的，所以分子每一项展开到三阶即可，而式中sinx前有因子x，故只需展开到二阶即可。sinx的展开式中x的下一项是三次因式，故选择把它写成o（x2）。
8（1）设{an}，{bn}，{cn}均为非负数列，且limn→∞ an=0，limn→∞ bn=1，limn→∞ cn=∞，则必有（）。
（A）an （C）极限limn→∞ ancn不存在（D）极限limn→∞ bncn不存在
（2）设函数f（x）在（-∞，+∞）内单调有界，{xn}为数列，下列命题正确的是（）。
（A）若{xn}收敛，则{f（xn）}收敛（B）若{xn}单调，则{f（xn）}收敛
（C）若{f（xn）}收敛，则{xn}收敛（D）若{f（xn）}单调，则{xn}收敛
作答区域总结提升对于（2），由题干信息很容易联想到单调有界准则，所以应该把讨论的焦点放在哪个选项能确保所给数列满足单调有界准则的条件。
（1）由于limn→∞ bn=1，假设limn→∞ bncn存在并记为A，则limn→∞ cn=limn→∞ bncnbn=A，这与limn→∞ cn=∞矛盾，故假设不成立，limn→∞ bncn不存在。故选D。
①选项A，B容易和极限的保号性混淆，根据保号性limn→∞ an0，当n>N时，有anN）才成立，无法保证对每一项都成立。
②结合本题的推理过程和极限的四则运算法则，我们可以总结出如下结论：
收敛+收敛=收敛，收敛+发散=发散，发散+发散=；
收敛×收敛=收敛，收敛×发散=发散，若收敛≠0，，若收敛=0，发散×发散=。
（2）由于f（x）在（-∞，+∞）内有界，可知不管数列{xn}是什么，数列{f（xn）}总是有界的。注意函数f（x）本身是单调的，可见，如果{xn}单调，那么{f（xn）}也是单调的，从而可以得到{f（xn）}收敛。故选B。
9f(x)=e1x－1ln1+x(ex－1)(x－2)的第二类间断点的个数为（）。
（A）1（B）2（C）3（D）4
作答区域总结提升判断函数在某一点的间断点的类型，需计算出函数在该点的左右极限，再与间断点的分类标准对照。本题不是判断指定点的间断点类型，需要考生自行寻找间断点，再判断其类型；难点是如何找全间断点。一般来说，函数可能的间断点有两类：一是分段函数的分段点；二是初等函数中的函数运算无意义的点（主要有分母为零、对数函数的真数为零等）。这样的点称为“可疑点”。计算时，需要先找出所有的“可疑点”，再逐一判断。就本题而言，这样的点有四个：－1，0，1，2。
f(x)可能的间断点有x=－1,x=0,x=1,x=2。因为limx→－1ln1+x=－∞，limx→－1e1x－1(ex－1)(x－2)≠0，则limx→－1 f(x)=∞，所以x=－1为f(x)的第二类（无穷）间断点；
因为limx→0f(x)=limx→0e1x－1xx(x－2)=－ 12e，又f(x)在x=0处无定义，所以x=0为f(x)的第一类（可去）间断点；
因为limx→1+e1x－1=+∞，lim
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