第一章
数与式
第一节整数、有理数与实数
第一部分知识要点
1?整数与自然数
整数包括正整数、负整数和零?整数用字母Z表示，如…，-2，-1，0，1，2，…?两个整数的和、差、积仍是整数，但是用一个不等于零的整数去除另一个整数所得的商不一定是整数.
在整数中，正整数和0称为非负整数.
自然数是表示物体个数的数，用字母N表示，如0，1，2，….
【注意】
自然数包括0，0是最小的自然数.
2?整除与带余除法
数的整除：当整数a除以非零整数b，商正好是整数而无余数时，则称a能被b整除或b能整除a，记作b｜a.
常见整除的特征：
被2整除的数，偶数（个位是0，2，4，6，8）.
被3整除的数，各位数字之和必能被3整除.
被4整除的数，末两位（个位、十位）必能被4整除.
被5整除的数，个位为0或者5.
被9整除的数，各位数字之和必能被9整除.
被12整除的数，同时满足能被3和4整除的条件.
带余除法：
设a，b是两个整数，其中b＞0，则存在整数q，r，使得a=bq+r（0≤r＜b）成立，而且q，r都是唯一的，q叫作a被b除所得的商，r叫作a被b除所得的余数.
3?公约数与公倍数
公约数：设a，b是两个整数，若整数p满足p｜a且p｜b，则称p是a，b的一个公约数?整数a，b的所有公约数中最大的那个叫作a，b的最大公约数，记为（a，b）.
最大公约数的求法：直接将各数分解质因数，然后写出最大的共同约数.
公倍数：设a，b是两个整数，若整数p满足a｜p且b｜p，则称p是a，b的一个公倍数?整数a，b的所有公倍数中最小的那个叫作a，b的最小公倍数，记为［a，b］.
最小公倍数的求法：
（1）分解质因数法
先把这几个数分解质因数，再把它们一切公有的质因数和其中几个数公有的质因数以及每个数独有的质因数全部连乘起来，所得到的积就是它们的最小公倍数.
（2）公式法
由于两个数的乘积等于这两个数的最大公约数与最小公倍数的积，即（a，b）×［a，b］=a×b?所以，求两个数的最小公倍数，就可以先求出它们的最大公约数，然后利用上式求出最小公倍数.
4?奇数与偶数
奇数：不能被2整除的数?n＝2k＋1，k是任意整数.
偶数：能被2整除的数?n＝2k，k是任意整数.
【注意】
1?0是偶数，两个相邻整数必为一奇一偶?除了最小质数2是偶数之外，其余质数均为奇数?1既不是质数，也不是合数.
2?奇数、偶数在运算中的法则：
奇数×奇数＝奇数；偶数×偶数＝偶数；偶数×奇数＝偶数；
奇数＋奇数＝偶数；偶数＋偶数＝偶数；偶数＋奇数＝奇数.
一般地，设a，b为整数，那么a+b与a-b具有相同的奇偶性.
5?质数与合数
质数：如果一个大于1的正整数，只能被1和它本身整除（只有1和它本身两个约数），那么这个正整数叫作质数（质数也称素数）?互质数：公约数只有1的两个数称为互质数，如9和16.
合数：一个正整数除了能被1和它本身整除之外，还能被其他的正整数整除（除了1和它本身之外，还有其他约数），这样的正整数叫作合数.
质数与合数有如下重要性质：
（1）质数和合数都在正整数范围内，且有无数多个.
（2）2是唯一的既是质数又是偶数的整数，即是唯一的质偶数?大于2的质数均为奇数.质数中只有一个偶数2，最小的质数为2.
（3）若质数p｜a?b，则必有p｜a或p｜b?（注：p｜a表示p是a的约数）
（4）若正整数a，b的积是质数p，则必有p=a或p=b.
（5）1既不是质数也不是合数.
（6）如果两个质数的和或差是奇数，那么其中必有一个是2；如果两个质数的积是偶数，那么其中也必有一个是2.
（7）最小的合数为4?任何合数都可以分解为几个质数的积，能写成几个质数的积的正整数就是合数.
6?有理数
分数：将单位1平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫作分数.
【注意】
1?分子和分母必须是整数，且分母不能等于0.
2?当分子与分母同乘或除以相同的数（0除外），分数值不会改变，故每一个分数都有无限个与其相等的分数.
百分数：表示一个数是另一个数的百分之几的数叫作百分数，通常用“%”来表示.
有理数：整数和分数统称为有理数?任何一个有理数都可以写成分数mn的形式（m，n均为整数，n≠0）?因为分数与有限小数和无限循环小数可以互化，所以又称有理数为有限小数和无限循环小数?若（m，n）＝1，则称mn为既约分数.
有理数运算具有封闭性，两个有理数的和、差、积、商（分母不为0）仍然是一个有理数.
7?实数
无理数：无限不循环小数?如2、3、e、π等.
非零有理数与无理数的和、差、积、商（除数不为0），结果必为无理数.
对于任意实数x，用［x］表示不超过x的最大整数，令［x］=x-{x}，称［x］是x的整数部分，{x}是x的小数部分.
实数：有理数和无理数统称为实数.
任意两个实数的和、差、积、商（除数不等于零）仍是实数.
实数的分类：
实数R有理数Q正有理数正整数
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