第一章极限的概念、性质及计算
一、考试内容及要求
数列极限与函数极限的定义及其性质，函数的左极限和右极限，无穷小量和无穷大量的概念及其关系，无穷小量的性质及无穷小量的比较，极限的四则运算，极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则，两个重要极限：
limx→0 sinxx=1，limx→∞ 1+ 1xx=e，
洛必达（L’Hospital）法则，泰勒（Taylor）公式，定积分的概念。
1理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左极限、右极限之间的关系。
2掌握极限的性质及四则运算法则。
3掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。
4理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷小量求极限。
5掌握用洛必达法则及泰勒公式求未定式极限的方法。
6会用定积分的定义求简单的和式极限。
二、历年真题分布统计
2002—2021年本章真题分布统计
年份函数极限
的计算数列极限的
计算及证明无穷小量
的比较对收敛性及
极限性质的考查总计2002年5分3分8分2003年2004年4分+8分12分2005年4分+8分12分2006年7分4分11分2007年4分4分8分2008年9分9分2009年4分4分8分2010年4分+10分7分4分25分2011年4分+10分4分18分2012年4分+10分14分2013年4分+10分14分2014年10分4分4分18分2015年4分10分4分18分2016年4分+10分4分18分2017年10分10分20分2018年10分10分20分2019年4分+4分4分12分2020年4分10分14分2021年10分5分15分总计157分46分63分8分274分
考研数学中，本章属于必考考点，几乎每年都会涉及，考题主要以客观题为主，也有部分解答题。在近五年的真题中，本章考查比例有增加的趋势。从考题分布来看，函数极限的计算是本章的核心内容，占了超过一半的比例，且无穷小的比较考查的也是函数极限的计算。所以，在本章的学习中，熟练掌握函数极限中各类未定式的计算方法是重点。此外，在近几年的真题中，对数列极限计算的考查比例也有所增加，2021年和2018年的真题中分别考查了运用定积分的定义及单调有界准则计算极限。除此之外，真题中还考查过对极限收敛性以及极限相关性质的证明，运用的考点主要包括极限的保号性、四则运算法则以及极限的收敛准则，这种题型考查频率不高，但得分率较低，是本章学习的难点，对于志在冲击高分的考生来说，这是必须突破的一道难关，其他考生简单了解即可，不必深究。
一、基本概念（一）极限1函数极限视频讲解设函数f（x）在点a的某去心邻域内有定义，若存在实数A，使得对ε>0，总存在δ>0，当x∈（a-δ，a）∪（a，a+δ）时，有|f（x）-A|<ε，则称x→a时，f（x）的极限存在，并将其极限值定义为A，记作limx→a f（x）=A。
设函数f（x）在区间（-∞，-M）∪（M，+∞）内有定义（其中M为某正数），若存在实数A，使得对ε>0，存在X>0，当x∈（-∞，-X）∪（X，+∞）时，有|f（x）-A|<ε，则称x→∞时，f（x）的极限存在，并将其极限值定义为A，记作limx→∞ f（x）=A。
2左、右极限
设函数f（x）在点a的某左邻域内有定义，若存在实数A，使得对ε>0，存在δ>0，当x∈（a-δ，a）时，有|f（x）-A|<ε，则称f（x）在a点的左极限存在，并将其极限定义为A，记作limx→a- f（x）=A。
设函数f（x）在区间（-∞，-M）内有定义（其中M为某正数），若存在实数A，使得对ε>0，存在X>0，当x∈（-∞，-X）时，有|f（x）-A|<ε，则称x→-∞时，f（x）的极限存在，并将其极限定义为A，记作limx→-∞ f（x）=A。
右极限limx→a+ f（x）与limx→+∞ f（x）的定义类似。
函数极限可以统一用limx→□ f（x）=A来表示，定义可以统一概括成一句话：当x在“□”的“附近”取值时（或x和“□”足够接近时），f（x）和A的距离可以任意小。“附近”的含义：在极限过程x→a中，a的“附近”表示a的去心邻域（a-δ，a）∪（a，a+δ）；在极限过程x→∞中，∞的“附近”指|x|足够大时x的取值范围，即区间（-∞，-X）∪（X，+∞）。在极限过程x→a-，a+以及-∞，+∞中，“附近”的含义类似。
3数列极限
对数列{xn}，若存在实数a，使得对ε>0，存在正整数N，当n>N时，恒有|xn-a|<ε，则称数列{xn}的极限存在或数列{xn}收敛，并将其极限定义为a，记作limn→∞ xn=a。
①数列极限的定义也可以概括成一句话：当n足够大时，xn和a的距离可以任意小。
②注意n→∞的两个重要特征：首先，这里的∞专指+∞；其次，n的取值是离散的。对于约定表示正整数的符号，如m，k，i，j等，它们→∞都有类似的特征。
③函数极限与数列极限的关系：如果limx→+∞ f（x）=A，则必有limn→∞ f（n）=A；反之，如果limn→∞ f（n）=A，则不一定有limx→+∞ f（x）=A。
（二）无穷小量与无穷大量1无穷小量若在某极限过程x→□（这里的x→□可以指函数极限x→a，x→a-，x→a+，x→∞，x→-∞，x→+∞中的任意一种，下同，数列极限无穷小量定义的表述类似）中，f（x）的极限为0，即limx→□ f（x）=0，则称x→□时，f（x）为无穷小量。
①在某极限过程中，函数极限为0，则在该极限过程中，函数为无穷小量。由定义可知，无穷小量不一定是0（但0一定是无穷小量），多数情况下，无穷小量是变化的，而不是静止不动的。从本质上看，无穷小量是一个变化过程，提到无穷小量的同时，一定要标明极限过程。例如，单独说“sinx是无穷小量”是没有意义的，正确的表述为“当x→0时，sinx是无穷小量”。
②无穷小量的重要性质：有限个无穷小量的乘积仍为无穷小量；有限个无穷小量的和仍为无穷小量；无穷小量与有界量的乘积仍为无穷小量。
2无穷大量
若在某极限过程x→□中，函数f（x）的绝对值无限增大，则称x→□时，f（x）为无穷大量，记作limx→□ f（x）=∞。其严格的数学表述如下：
limx→a f（x）=∞对M>0，δ>0，当0<|x-a|<δ时，恒有|f（x）|>M；
limx→∞ f（x）=∞对M>0，X>0，当|x|>X时，恒有|f（x）|>M。
①无穷大实际上是一个极限不存在的量，但极限不存在的量并不一定都是无穷大；
②与无穷小类似，无穷大也是动态变化的，而不是一个静止不动的数；
③无穷大与无穷小的关系：无穷大的倒数是无穷小，非0的无穷小的倒数是无穷大。
3无穷小的比较
设limx→□ α（x）=limx→□ β（x）=0，且α（x），β（x）均在极限点□的附近不为零，则：
若limx→□ α（x）β（x）=0，则称x→□时，α（x）是β（x）的高阶无穷小，β（x）是α（x）的低阶无穷小，记作α（x）=o［β（x）］；
若limx→□ α（x）β（x）=C≠0，则称x→□时，α（x）与β（x）为同阶无穷小。若常数C=1，则称x→□时，α（x）与β（x）为等价无穷小，记作α（x）～β（x）。
视频讲解
高阶无穷小的常用性质，假设α（x）与β（x）均为x→□时的无穷小，且α（x）β（x）≠0，则有：
①o［α（x）］±o［α（x）］=o［α（x）］，a·o［α（x）］=o［α（x）］（a≠0），α（x）o［β（x）］=o［α（x）β（x）］；
②α（x）～β（x）α（x）=β（x）+o［β（x）］。
二、基本性质（一）四则运算法则设limx→□ f（x）=A，limx→□ g（x）=B，则：
limx→□ ［f（x）±g（x）］=limx→□ f（x）±limx→□ g（x）=A±B；
limx→□ f（x）g（x）=limx→□ f（x）·limx→□ g（x）=AB；
limx→□ f（x）g（x）=limx→□ f（x）limx→□ g（x）=AB（B≠0）。
①四则运算在极限计算中的基本作用是对函数进行分解，将函数拆分成两部分的和、差、积或商，各自求完极限之后再分别代入，拆分的时候要注意两点：一是保证各部分的极限均存在（可以有无穷），二是保证分解之后不会成为未定式。
②四则运算中有四种形式的未定式，分别是00型、∞∞型、0·∞型、∞-∞型，在这四种情况下，函数极限不确定，无法直接运用极限的四则运算法则。其余情况下，均可以进行四则运算，例如0∞=0，k·∞=∞（k≠0），∞+C=∞，∞+∞=∞等。这里要注意∞+∞与∞-∞的区别，关键在于这两个无穷大的符号是否一致，如果符号相同，则为∞+∞，结果为∞；如果符号相反则为∞-∞，结果未定。例如limx→-∞ （x2+x-x）=∞，而limx→-∞ （x2+x+x）则为未定式。
（二）数列极限的性质
唯一性：若{xn}收敛，则{xn}的极限limn→∞ xn是唯一的。
有界性：若{xn}收敛，则{xn}有界。
数列极限存在可以得到数列整体有界。
保号性：设有数列{xn}，若从某一项N开始，当n>N时有xn≥0，则当limn→∞ xn存在时，有limn→∞ xn≥0；若有limn→∞ xn>0，则从某一项N开始，当n>N时有xn>0。
视频讲解（三）函数极限的性质
唯一性：若limx→x0 f（x）存在，则极限limx→x0 f（x）是唯一的。
有界性：若limx→x0 f（x）存在，则存在正数δ，使得f（x）在（x0-δ，x0）∪（x0，x0+δ）内有界。
对于不同的极限过程，函数极限的有界性表述需做一定调整，其内容可以概括为：当f（x）在□处的极限存在时，f（x）在“□的附近”有界。其中“□的附近”的含义与极限定义中对应的表述相同。
保号性：若存在正数δ，使得对于任意满足0<|x-x0|<δ的x都有f（x）≥0，则当limx→x0 f（x）存在时，有limx→x0 f（x）≥0；若limx→x0 f（x）>0，则存在正数δ，使得对于任意满足0<|x-x0|<δ的x都有f（x）>0。
①对于不同的极限过程，函数极限的保号性表述需做一定调整，其内容可以概括为：如果在“□的附近”有f（x）≥0，且limx→□ f（x）存在，则有limx→□ f（x）≥0；如果limx→□ f（x）>0，则在“□的附近”有f（x）>0。分别称为加极限号的保号性及去极限号的保号性。
②注意加极限号的时候不等式是带等号的，去极限号的时候不等式是不带等号的。
③加极限号的时候一定要先保证极限存在。
三、重要公式与定理（一）极限存在的充分必要条件1数列极限存在的充分必要条件数列{xn}的极限存在的充分必要条件是{xn}的任意子列极限均存在且相等。
2函数极限存在的充分必要条件
函数f（x）在x→a时的极限存在的充分必要
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