第一章随机事件及其概率
一、考试内容及要求
随机事件与样本空间，事件的关系与运算，完备事件组，概率的概念，概率的基本性质，古典型概率，几何型概率，条件概率，概率的基本公式，事件的独立性，独立重复试验。
1.了解样本空间（基本事件空间）的概念，理解随机事件的概念，掌握事件的关系及运算。
2.理解概率、条件概率的概念，掌握概率的基本性质，会计算古典型概率和几何型概率，掌握概率的加法公式、减法公式、乘法公式、全概率公式以及贝叶斯（Bayes）公式。
3.理解事件独立性的概念，掌握用事件独立性进行概率计算；理解独立重复试验的概念，掌握计算有关事件概率的方法。
二、历年真题分布统计
2002—2021年数学一本章真题分布统计
年份事件的关系
与运算简单概型条件概率
与独立性概率的性质
与公式总计2002年2003年6分6分2004年2005年2006年4分4分2007年4分4分2008年2009年4分4分2010年2011年2012年4分4分2013年2014年4分4分2015年4分4分2016年2017年4分4分2018年4分4分2019年4分4分2020年4分4分2021年5分5分总计4分13分34分51分2002—2021年数学三本章真题分布统计
年份事件的关系
与运算简单概型条件概率
与独立性概率的性质
与公式总计2002年2003年2004年2005年4分4分2006年2007年4分4分2008年2009年4分4分8分2010年2011年2012年4分3分7分2013年2014年4分4分2015年4分4分2016年4分4分8分2017年4分4分2018年4分4分2019年4分4分2020年4分4分2021年5分5分总计4分8分21分27分60分
本章是概率论的基本内容，是学习核心内容之前必备的理论基础。在历年真题中，本章的内容出现频率很高，考题以小题为主，主要考查考生基本的计算能力。本章的内容主要包括两部分，一是随机事件的关系与运算，二是概率的计算。其中第二个考点是重点，从历年真题来看，考试对概率计算的考查主要通过三种形式进行：一是对简单概型的运用，二是对条件概率和独立性的运用，三是对概率的性质和基本公式的运用。整体难度不大，但具有一定的灵活性，考生需勤加练习，确保熟练掌握，为后续的学习打下坚实的基础。
一、随机事件（一）基本概念1.随机试验的定义具有如下特征的试验称为随机试验：
（1）可以在相同的条件下重复进行；
（2）试验的结果可能不止一个，但试验之前能预知所有可能的结果；
（3）试验前不能确定哪个结果会出现。
随机试验所有可能的结果组成的集合称为样本空间，记作Ω。样本空间中的元素称为样本点，一般记作ω∈Ω。
2.随机事件的定义
样本空间的子集称为随机事件，随机事件一般用大写的英文字母A，B，C，…表示。对于随机事件A，如果某次试验的结果出现在A内，则称随机事件A发生了。如果某次试验的结果出现在A外，则称随机事件A不发生。
样本空间Ω是自身的子集，包含所有的样本点，在每次试验中必然发生，称为必然事件。空集也可以看作样本空间的子集，它不包含任何样本点，在每次试验中都不可能发生，称为不可能事件。由单个样本点组成的随机事件称为基本事件。
随机事件就是样本空间的子集，是由一部分结果组成的集合，而试验之前无法预知哪个结果会出现，也无法预知该事件会不会发生，所以一般情况下随机事件是否会发生是有随机性的（必然事件和不可能事件除外），这是随机事件的由来。同时，考生应该从两个角度理解随机事件及其相关概念：一是从集合的角度，二是从其随机性的角度。
（二）随机事件的运算1.和事件事件{xx∈A或x∈B}称为事件A和B的和事件，记为A∪B或者A+B。易知，当且仅当事件A和B中至少有一个发生时，A∪B发生。
类似地，我们还可以定义n个事件A1，A2，…，An的和事件∪nk=1Ak，以及可列无穷个事件A1，A2，…的和事件∪∞k=1Ak。
对于和事件应该从两个角度来理解。一是从随机性的角度，和事件A+B发生意味着A发生或B发生，也意味着A，B至少有一个发生，这里关键词是“或”以及“至少有一个”，如果遇到类似的表述就应该想到和事件。二是从集合的角度，所谓的和事件实际上就是集合A，B的并集A∪B，如图所示。
2.积事件
事件{xx∈A且x∈B}称为事件A和B的积事件，记为A∩B，简记为AB。易知，当且仅当事件A和B同时发生时，A∩B发生。
类似地，我们还可以定义n个事件A1，A2，…，An的积事件∩nk=1Ak，以及可列无穷个事件A1，A2，…的积事件∩∞k=1Ak。
从随机性的角度理解，积事件AB发生意味着A发生且B发生，等效的表达还有A，B都发生，或A，B同时发生，关键词为“且”“都”“同时”，看到这些词就应该想到积事件。从集合的角度理解，积事件AB实际上就是集合A，B的交集A∩B，如图所示。
3.差事件
事件{xx∈A且xB}称为事件A与B的差事件，记为A－B。易知，当且仅当事件A发生而事件B不发生时，A－B发生。
差事件A－B实际上是在A中同时不在B中的那一部分组成的集合，如图所示，从图中可以看出，实际上A－B是从A中减去A，B的公共部分AB，从而有A－B=A－AB。结合对立事件的概念可知A－B发生相当于A发生并且B发生，从而也有A－B=AB—。
（三）随机事件的关系1.包含若事件A所包含的样本点都属于事件B，则称事件A包含于事件B（或称事件B包含事件A），记为AB。
随机事件的包含关系应该从两个角度理解：一是从随机性的角度看，AB表示事件A发生必然导致事件B发生；二是从集合的角度看，AB表示A是B的子集，如图所示。
2.相等
若AB且BA，则称事件A与事件B相等，记为A=B。
3.互斥
若事件A，B满足A∩B=，则称事件A与事件B互斥（或互不相容）。易知，事件A与事件B互斥当且仅当它们不能同时发生。
从随机性的角度看，A，B互斥表示事件A发生必然导致事件B不发生或事件A，B不可能同时发生。从集合的角度看，A，B互斥表示集合A与B没有交集，如图所示。
4.对立
若事件A，B满足A∩B=且A∪B=Ω，则称事件A与事件B为对立事件，或称事件A与事件B互为逆事件，记作B=A。
①如图所示，随机事件A的对立事件A实际上就是集合A在样本空间中的补集，A也称为A的逆事件。有了对立事件之后，随机事件A不发生也可以理解成随机事件A发生。例如，差事件A－B的定义是A发生并且B不发生，结合对立事件的概念就可以等效地理解成A发生并且B发生，即A－B=AB—。
②对立事件实际上是将样本空间分成了互不相交的两部分，一部分为A，另一部分为A。
5.完备事件组
若事件A1，A2，…，An满足Ai∩Aj=，i≠j（i，j=1，2，…，n），∪nk=1Ak=Ω，则称A1，A2，…，An为一个完备事件组。
可见，在每次随机试验中，完备事件组A1，A2，…，An中的事件有且仅有一个发生。对立事件是完备事件组的一种简单的形式。
完备事件组实际上就是将样本空间分割成了互不相交的n部分，如图所示。对立事件是它的一种特殊形式，对应n=2的情形。
（四）运算规律1.交换律A∪B=B∪A，A∩B=B∩A。
2.吸收律
若AB，则有A∩B=A，A∪B=B，特别地，A∩A=A∪A=A。
3.结合律
（A∪B）∪C=A∪（B∪C），（A∩B）∩C=A∩（B∩C）。
4.分配律
（A∪B）∩C=（A∩C）∪（B∩C），（A∩B）∪C=（A∪C）∩（B∪C）。
分配律的第一个公式如果写成加法和乘法的形式会更容易记忆和理解：（A+B）C=AC+BC。另一个公式则不需要记忆，可结合前面的运算法则进行推导，
（A+C）（B+C）=AB+AC+CB+CC=AB+［C（A+B）+C］=AB+C，
后一步是因为C（A+B）C，所以由吸收律可得C（A+B）+C=C。
5.对偶律
A∪B=A∩B，A∩B=A∪B，A=A。
①对偶律又称为德·摩根律，是计算对立事件的重要规律，由于对立事件在随机事件和概率中使用得非常多，所以该规律也是上述五条运算规律中的重中之重。
②结合公式的形式，我们总结了计算口诀，可以辅助考生记忆，即“长杠变短杠，开口换方向”。
二、随机事件的概率（一）概率的公理化定义概率是所有事件构成的集合到实数集的一个映射P，它满足下列条件：
（1）非负性：对任意事件A，都有P（A）≥0；
（2）规范性：对必然事件Ω，有P（Ω）=1；
（3）可列可加性：设A1，A2，…是两两互不相容的事件，Ai∩Aj=，i≠j，i，j=1，2，…，有P∪∞i=1Ai=∑∞i=1P（Ai）。
①随机事件的概率刻画的是该事件发生的“可能性”。由于样本空间中的任何一个点都是有可能出现的，而随机事件又是样本空间的子集，所以多数情况下，随机事件的概率实际上都是该事件在样本空间中所占的“比重”。对“比重”的不同度量方式就形成了不同的概型。例如，我们后面会讲到，古典概型里事件的概率就等于事件中所包含的结果数在总的结果数中所占的比重，几何概型（以二维为例）中事件的概率就等于事件所对应区域的面积在整个样本空间所对应区域的面积中所占的比重。但不论采取什么样的度量方式，随机事件的概率总需要满足一些基本要求，这些要求就是公理化定义中所总结出来的三个基本条件。
②三个条件中，非负性和规范性比较好理解。难点在于可列可加性，关于这条性质可以这样来理解：首先要理解可加性，即有若干个互不相容的事件，它们的和事件的概率应该等于它们各自的概率相加（结合概率就是比重来理解）；其次要理解可列，所谓可列是指事件个数无穷多，但能够逐一被罗列出来。
（二）概率的基本性质1.不可能事件的概率P（）=0。
要注意概率为零的事件与不可能事件的区别。不可能事件的概率一定为零，但概率为零的事件不一定是不可能事件。概率为零意味着该事件的度量为零。例如在几何概型（以二维为例）中，事件的概率等于区域的面积比，一个事件的概率为零意味着该事件对应区域的面积为零，但这并不意味着该事件是空集（例如事件为一个点或是一条线，其面积都为零，但整个事件不是空集）。
2.有限可加性
设A1，A2，…，An为两两互不相容的事件，则有P∪ni=1Ai=∑ni=1P（Ai）。
①该性质是可列可加性的推论。在可列可加性中将An+1，An+2，…都写成空集就可得到该公式。
②要注意A1，A2，…，An必须是两两互斥的。
3.逆事件的概率
对于任意事件A，有P（A）=1－P（A）。
①该公式是有限可加性和规范性的推论。由于A∪A=
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