第1章 自旋玻璃概述
1975年，Edwards和Anderson[1]构造了一个格点自旋相互作用模型，希望用它来理解无序磁性材料一些奇异的性质[2-5]？在Edwards-Anderson (EA)模型中，三维晶体的每一个晶格点上有微观状态，称为自旋( spin)，它可以取向上和向下两个方向？相邻格点的自旋有相互作用，它们有的是铁磁的(希望相邻两个自旋取向相同)，有的则是反铁磁的(希望两个自旋取向相反)，铁磁和反铁磁相互作用杂乱无章地分布于三维晶体的所有近邻自旋之间？Edwards和Anderson预言当环境温度足够低时，该模型系统的自旋微观构型将处于一种玻璃态？在这一低温玻璃态中，系统在宏观上不表现出自发的磁性(就是说系统中处于两种自旋状态的晶格点在数目上相当)，但晶格中大部分格点都有取向偏好，有的喜欢自旋向上，有的喜欢自旋向下，导致格点具有或强或弱的微观自发磁性？
Edwards和Anderson的理论工作激发了人们对自旋玻璃(spin glass)系统的研究兴趣？在四十年时间内，人们构建了许多自旋玻璃模型，提出了一些统计物理平均场理论(如复本对称破缺理论和液滴理论)，并发展了高效数值计算万法(如模拟退火？模拟回火？复本交换蒙特卡罗等)[4-11]？理论和计算机模拟工作揭示了低温自旋玻璃相的自由能图景一些本质特性，例如，微观状态空间的各态历经破缺和热力学宏观态的激增等？
自旋玻璃研究领域的前沿课题和应用范围并不仅仅局限于无序磁性材料系统？就统计物理性质而言，人们发现结构玻璃和颗粒态物质在一些方面非常类似于多体相互作用自旋玻璃模型系统[12，13]，由此引发了大量的理论和模拟工作？近年来自旋玻璃平均场理论已被推广并应用于过冷液体？结构玻璃？颗粒态物质的阻塞相变等问题的研究[，3 -16]，可以期待这方面会有更多的理论进展，促进对于玻璃系统和颗粒态物质系统的统计物理性质的全面和深入理解？
自旋玻璃理论的应用极为广泛？计算机科学中的组合优化问题和约束满足问题，信息科学中的纠错码编码解码问题？图像恢复问题和压缩传感问题，人工智能科学中的联想记忆( associative memory)和感知学习(perceptron learning)问题，复杂网络科学中的网络结构预测和重构？网络社区结构划分问题，生命科学中的蛋白质结构预测问题，社会和生物系统的博弈问题，等等，都可以转化成自旋玻璃系统进行砑究[，7 -o]？这些应用研究有的已经取得丰硕成果，并且促进了统计物理？计算机科学？信息理论？复杂系统研究等学科的交叉与融合，对自旋玻璃理论本身的发展也起到了极大的推动作用？
对各种复杂系统进行实证和理论研究已成为统计物理学领域很有吸引力的一个新方向？人们期待能从各种复杂和多样性的数据(即“大数据”，big data)中发现复杂系统的一些内部规律和特征关系，从而对复杂系统获得更深和更定量的理解[21，拢]？自旋玻璃体系有极为复杂的自由能图景，表现出丰富的动力学行为，它们是复杂系统研究的重要范例？
本章介绍一些常见的自旋玻璃模型，概括自旋玻璃系统的一些主要性质，并列举自旋玻璃理论在信息科学领域一部分问题上的应用？本章还将求解两个简单模型，即随机能量模型和随机子集模型，以便读者直观地体验自旋玻璃平均场理论蕴涵的物理图像？ 1.1 自旋玻璃模型举例
从拓扑类型而言，自旋玻璃模型可以分为有限维系统？随机有限连通系统？完全连通系统(图1.1);从相互作用类型而言，可以分为两体相互作用系统和多体相互作用系统？
图1.1两体相互作用自旋玻璃模型的三种类型
(a)完全连通网络;(b)随机有限连通网络;(c)规则晶格
1.1.1 有限维晶格体系 EA模型[-]是定义于有限维晶格上的两体相互作用自旋玻璃模型？该晶格体系的粒子(如原子或分子)周朔性地排布于D维空间(D=2，3，但在理论研究中也考虑D≥4的情形);每一个粒子Ⅳ，Ⅳ为格点总数目)都有一个自旋状态
其中，求和局限于D维晶格( D-dimensional lattice，DL)全部最近邻粒子对(i，J)？这种最近邻关系可以用晶格中的边来表示，见图1.1(c)？
如果所有的耦合常数J都是铁磁的(Jij>0，相邻自旋取向一致能量最小)，那式(1.1)就是著名的铁磁伊辛模型？如果所有的耦合常数J都是反铁磁的(Jij<0，相邻自旋取向相反能量最小)，那式(1.1)就是反铁磁伊辛模型？在D维晶格体系中，反铁磁伊辛模型实际上等价于铁磁伊辛模型？这是因为整个晶格是两个子晶格相互嵌套而成，每个粒子的所有最近邻粒子都处于另外一个子晶格;可以将一个子晶格里所有粒子的自旋正向都定义为和另一个子晶格的粒子自旋正向相反，这样就将反铁磁伊辛模型转化成了铁磁伊辛模型？铁磁伊辛模型的统计物理性质已被研究得很透彻？可以用平均磁矩m作为序参量( order parameter)来描述系统的宏观性质，即
其中，m？是格点i自旋状态吼的统计平均值？在高温下系统的平均磁矩m-0，但当温度T低于某个临界值(即居里温度Te)时平均礅矩的绝对值不为零，即出现宏观磁矩[23，24]，见示意图1.2(a)，这说明在低温时系统自发地形成了有序状态？系统的平均格点磁化率X是所有格点磁化率X？的平均值[s]，
【b)图1.2铁磁伊辛模型(a)和Edwards-Anderson自旋玻璃模型(b)的平均磁矩绝对值Iml 及平均格点磁化率x随温度T的变化趋势示意图
Te代表铁磁相变温度;Tsg代表自旋玻璃相变温度它在居里温度Te处达到极大值，说明系统对外界磁场的响应在Te处最强？表达式(1.3)中的k是玻尔兹曼常数？在本书以后的讨论中，都将玻尔兹曼常数设为kB -1，即温度T具有能量的量纲？因此以后所有的公式中都不会再出现玻尔兹曼常数kB？
在Edwards-Anderson自旋玻璃模型中，式(1.1)中的一部分近邻对(i，歹)之间的耦合常数Jij是铁磁的(Jij>0)，而另一部分近邻对之间的耦合常数是反铁磁的(Jij<0)，且铁磁和反铁磁的耦合常数杂乱无章地分布于晶格中，没有任何规律性？在D维晶格中产生一个EA模型的样本(sample)很简单:先给定耦合常数钵右然后对晶格中的每一条边(i，J)按照这个分布函数独立地赋予一个自旋耦合参数五，，这样就生成了模型(1.1)的一个样本？系统中所有的耦合参数在赋值后就不再改变取值，可变的只是每个格点的自旋状态？
竞争性(如铁磁和反铁磁)相互作用杂乱无章地分布于系统中，这是许多自旋玻璃模型的一个共同特征？这种无序性会产生许多阻挫( frustration)，使系统的所有相互作用能量不可能同时处于最小值[25]？怍为一个最简单例子，考虑图1.3所示的回路，回路有三个铁磁相互作用和一个反铁磁相互作用，回路的能量为
j取向相同，而回路的另一分支/-j却希望吼和aj反向？由于这样的冲突，该回路至少有一个相互作用的能量必定不是该相互作用能量的最低值？
在一个非平庸自旋玻璃模型系统中存在着许多相互作用回路？如果一个回路上的相互作用能量之和的最小值大于该回路上每一个相互作用能量的最小值之和，那么就称该回路处于阻挫状态[25]？由于存在着许多阻挫，能量函数(1.1)作为N维构型空间{-1，+1)？v中的曲面是很崎岖不平的？这导致难以在理论上对系统的平衡统计物理性质和非平衡动力学性质进行精确描述？系统的基态能量构型可能具有很大的简并度，但由于能量曲面存在许多局部极小，导致很难通过局部优化的方法获得模型(1.1)的最小能量(基态)构型(但如果维数D1，求解函数(1.1)的基态是很简单的;对于二维(D=2)情况，如果是开放边界条件，则可以将基态问题转化为网络配对问题求解，也可采用键传播算法，参见文献[26]-[28])？图中实线表示铁磁自旋耦合(Jjk>0)，虚线表示反铁磁自旋耦合(Jzj<0)0如果包含四条边的回路上有
奇数条边的耦合参数为负，那该回路的四个相互作用能量不可能同时处于各自的最小值
与铁磁伊辛模型不同，Edwards-Anderson自旋玻璃模型在任何非零温度都没有自发的宏观平均磁矩，即m≈0，说明系统在宏观上总是处于无序状态？然而如果测量格点的平均磁化率x，人们却发现)(在某一临界温度Tsg处出现峰值，见示意图1.2(b)？当T>Tsg时，平均格点磁化率)(作为温度的函数为)(=1/T？与式(1.3)相比较，可以看出此时所有格点i的平均磁矩r？-0？当温度降低到Tsg时，平均格点磁化率)(达到最大，然后它随着温度的进一步降低而减少？Edwards和Anderson[1]认为在T 有限维自旋玻璃模型对于定量描述无序磁性材料的低温性质很重要？但由于晶格中有很多短程回路，导致理论计算很不容易？对这类系统取得的进展主要来自计算机模拟，且当前文献对系统的低温本质特性和自旋玻璃相变有很多争议[约-34]？争议的焦点是系统处于低温自旋玻璃相时热力学宏观态的数目？一种观点认为只有两个热力学宏观态，它们之间存在自旋反演对称性(类似于铁磁伊辛模型的两个低温宏观态，只是自旋玻璃的低温宏观态在宏观上无序而已);另一种观点是认为在热力学极限下，宏观态的数目随着系统粒子数Ⅳ的增大而趋向于无穷多？
1.1.2 完全连通网络体系
Sherrington-Kirkpatrick( SK)模型[35]是完全连通自旋玻璃模型的最著名例子？该模型的能量函数为
任意两个粒子之间都有相互作用，故模型对应于完全连通网络，见图1.1(a)？不同粒子对(i，J)之间的耦合常数是相互独立的随机参数，其概率分布函数为
按照概率分布函数(1.5)以相互独立的方式产生个耦合常数Jij，就产生了SK模型的一个样本？这些耦合常数在赋初值后就一直固定不变，但Ⅳ个粒子的自旋态是可以随时间改变的？由式(1.5)可知，耦合常数J的量级为？即任意一对粒子之间的相互作用都很弱，但每个粒子都和所有其他粒子有这种弱自旋耦合作用？在SK模型中没有空间结构的概念，任意两个粒子都彼此为最近邻？之所以要求耦合常数Jij为Ⅳ-1/2的量级，是为了保证模型(1.4)所对应的自由能是广延量，参见第1.3节？在概率分布函数(1.7)中要求J，？，，？，为Ⅳ- (p-l)/2的量级也是基于同样的考虐？
自旋相互作用模型[12，3 6]是SK模型的自然推广？该模型包含多体相互作用，其能量函数为它们是彼此独立的随机参数，服从同样的概率分布
耦合常数的量级为？由于多体相互作用的引入自旋相互作用模型与SK模型相比，其统计物理性质有一些定性的不同[12，36，37]？这一模型对于理解结构玻璃的统计物理性质有重要意义[13，¨]？
SK模型和p自旋相互作用模型在自旋玻璃平均场理论研究中发挥了重要的作用[4，5，35，38]？这一类完全连通网络模型由于不存在空间结构且粒子之间的相互作
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