刘成仕编著的《从面积问题到Liouville理论》 从切线和面积问题谈起，在极短的篇幅内清晰地讲解 了微积分最本质的内容，包括了外微分运算的几何意 义和Stokes公式，以及函数的层饼表示和若干重要的 不等式。本书通过几何概率讲解了积分几何并应用到 Benneson型等周不等式，详细地证明了测度集中现象 ，用具体的例子阐述了无穷维微积分，从振动方程本 身人手研究三角函数。特别是详细地讲解了为什么某 些初等函数的原函数不能表示成初等函数的 Liouville理论。本书特别强调对数学的理解，从基 本问题讲起，直达前沿领域，讲解透彻，内容与方式 都别具一格。 本书适用于广泛的读者，包括数学、物理、力学 专业的大学生、研究生、教师以及科研人员，亦可作 为大学生和研究生的教材或参考书。

前言 第一讲 如何求切线、面积和体积 1 面积的定义 2 三角形的面积 3 圆的面积——一个难题 4 一个思考的问题：抛物线y=x2下的面积 5 求切线——Fermat模式 6 再回到求抛物线y=x2下的面积——Newton模式 7 球体的体积 8 一个挑战：求球体的表面积 9 用两次Newton模式：更复杂体的体积——二重积分 第二讲 更复杂函数求切线和积分 1 第一个重要极限和三角函数的导数 2 第二个重要极限和对数函数的导数 3 指数函数的导数——反函数的求导法则 4 更复杂函数的斜率的求法 5 更复杂函数对应的面积——求积分的基本方法 6 曲线的弧长 7 求球体的表面积的另一个方法 第三讲 无穷阶多项式——幂级数 1 Newton二项式定理 2 Newton计算π的近似值 3 无穷阶的多项式——幂级数 4 幂级数的另一个应用——Euler的神奇求和公式 5 在一般点处的Taylor展开的微妙之处 第四讲 多元函数极值问题、偏导数、曲线积分和外微分 1 极值问题和偏导数 2 导数和偏导数的更多问题 3 Newton模式：沿着曲线做功——曲线积分 4 关于二重积分的定义——面积是有方向的——外积的引入 5 外微分形式和外微分，外微分的几何意义，Stokes公式 6 通过复数求积分——复数的引入和复变函数 第五讲 计算面积的若干新方法 1 二重积分的一个有趣方法 2 有理数的长度 3 区间分割、数的进位表示与一些有趣的集合 4 积分的又一种计算方法——Lebesgue积分的计算与测度论的起源及其与概率论的联系 5 另一种分割y轴计算面积法——函数的层饼表示 第六讲 积分几何和等周不等式 1 一个几何概率问题 2 平面上刚体的不变测度 3 凸集的支撑函数和几何概率问题的解 4 另一个几何概率问题和Poincare运动公式 5 Bonnesen型等周不等式 第七讲 等周不等式和测度集中 1 Brunn—Minkowski不等式和Prekopa—Leindler不等式 2 等周不等式和索伯列夫不等式 3 球面上的等周不等式与测度集中 4 Levy引理的另一种形式及其直接证明 第八讲 无穷维函数的求导和积分 1 无穷维函数的构造 2 无穷维极值问题——变分法 3 无穷维函数的积分与测度集中 第九讲 振动问题与微分方程 1 弹簧的振动——由方程本身建立正弦函数和余弦函数的性质 2 弦的振动——Fourier级数——无穷多守恒量 3 利用在平面上任意直线上的积分值来重构二元函数——一种简单情形 第十讲 Liouville理论——为什么ex2的原函数不能表示成初等函数 1 初等函数的构造 2 初等函数的导数 3 添加对数函数与指数函数后，关于复合多项式的导数的一个结果 4 Liouville定理及其证明 5 Liouville定理的应用——某些初等函数的原函数不能表示成初等函数的例子和证明 第十一讲 若干杂题 1 闭曲线所围面积公式与Green公式的另一个推导 2 Euler交错和的表示和计算问题 3 Brouwer的不动点定理和Poincare不动点定理 4 Rolle定理及其高维和无穷维推广的问题 5 圆周上的函数 6 对严格化理论的需要——极限语言的可操作性定义 7 关于分数阶微积分的闲话 参考文献 后记