本书共分六个部分，十四章，是论述代数基本定理以及证明“π与e是超越数”的一本入门读物，也是一段经典数学的奇幻之旅。 在第一部分中，从多项式方程的解和数系的扩张谈起，详述了有理数与循环小数，讨论了在黄金分割与黄金三角形，以及斐波那契数列中出现的无理数，由二元数的观点引入复数，最后阐明了代数基本定理的内容。在第二部分中，用三种不同的方法说明或证明了代数基本定理，这就表明了复数域是代数闭域。在第三部分中，从定义圆周率π以及自然对数的底e开始，最后严格地证明了它们是无理数。在第四部分中，阐明了关于多项式的一些概念和理论，其中有贝祖等式、高斯引理、艾森斯坦不可约判据，以及对称多项式基本定理等，也详述了有关扩域的一些理论，包括代数元、代数元域，以及单代数扩域等。在第五部分中，主要研究了代数扩域与有限扩域，并应用这些理论讨论了三大古典几何作图问题。在第六部分中，阐述了康托尔的对角线法，并依此证明了超越数的存在，简洁地证明了刘维尔定理以及刘维尔数是超越数，进而严格地证明了e是超越数的埃尔米特定理，以及π是超越数的林德曼定理。 本书还有六个附录：附录1推导了斐波那契数列的通项公式——比奈公式；附录2讨论了一些函数的级数展开，从而最终阐明了正文中表示π的格雷戈里一莱布尼茨表达式；附录3叙述了古印度数学家马德哈瓦用正切函数的级数展开计算丌的方法；附录4借助复数导出了π的另两个级数表示，这表明了数学内在的统一和优美；附录5对多项式基本定理中多项式g(x1，x2，…，xn)的唯一性给出了详尽的证明；附录6对正文中要用到的线性方程组的求解理论作出了简要的说明。 本书起点较低，叙述详尽，论证严格，举例丰富，前后呼应，数学内容自成体系，是一本深入浅出，既可供数学爱好者系统地学习和掌握新知识和方法，扩展视野，又能使他们欣赏到数学之美的可读性较强的读物。

第一部分 从求解多项式方程到代数基本定理
第一章 从自然数系到有理数系
1.1 自然数系与一元一次方程的求解
1.2 有理数与循环小数
1.3 可公度线段
第二章 无理数与实数系
2.1 无理数和不可公度线段
2.2 黄金分割与黄金三角形
2.3 黄金矩形
2.4 兔子繁殖与黄金分割
2.5 斐波那契数列的通项公式——比奈公式
第三章 复数系与代数基本定理
3.1 二元数与复数系
3.2 数域的概念
3.3 代数基本定理
3.4 复数域是代数闭域
第二部分 代数基本定理的证明
第四章 代数基本定理的定性说明
4.1 复平面中的一些圆周曲线
4.2 多项式函数及其缠绕数
4.3 缠绕数的一个重要性质
4.4 r极大与极小时的两个极端情况
第五章 业余数学家阿尔冈的证明
5.1 考虑p（z）的最小值
5.2 计算p（z0+ζ）等
5.3 对qζ(1+ζξ)的讨论
5.4 反证法：证明了代数基本定理
第六章 美国数学家安凯奈的证明
6.1 复变函数论中的解析函数
6.2 柯西-黎曼定理
6.3 连续复函数的线积分
6.4 微积分学中的格林定理的回顾
6.5 柯西积分定理
6.6 安凯奈的思路
6.7 φ(z)的两个特殊线积分
6.8 两个不相等的积分
第三部分 圆周率π和自然对数底e，及其无理性
第七章 圆周率π及其无理性
7.1 刘徽割圆与圆周率兀
7.2 π是一个无理数
第八章 自然对数的底e及其无理性
8.1 自然对数的底e与一些重要的公式
8.2 一些重要的应用
8.3 欧拉数e是一个无理数
第四部分 有关多项式与扩域的一些理论
第九章 有关多项式的一些理论
9.1 数系S上的多项式的次数与根
9.2 数系S上的可约多项式与不可约多项式
9.3 多项式的可除性质
9.4 多项式的因式、公因式与最大公因式
9.5 多项式的互素与贝祖等式
9.6 贝祖等式的一些应用以及多项式因式分解定理
9.7 高斯引理
9.8 整系数多项式的可约性性质
9.9 艾森斯坦不可约判据
9.10 多元多项式与对称多项式
9.11 初等对称多项式
9.12 对称多项式的基本定理
9.13 由对称多项式基本定理得出的一个有重要应用的定理
9.14 关于多项式根的两个重要的推论
第十章 有关扩域的一些理论
10.1 数域的另一个例子
10.2 扩域的概念
10.3 要深人研究的一些课题
10.4 域上的代数元以及代数数
10.5 代数元的最小多项式
10.6 互素的多项式与根
10.7 代数元的次数以及代数元的共轭元
10.8 代数元域
10.9 单代数扩域
10.10 添加有限多个代数元
10.11 多次代数扩域可以用单代数扩域来实现
第五部分 代数扩域、有限扩域以及尺规作图
第十一章 代数扩域、有限扩域与代数元域
11.1 代数扩域
11.2 代数元集合A成域的域论证明
11.3 扩域可能有的基
11.4 有限扩域
11.5 维数公式
11.6 有限扩域的性质
11.7 代数元域是代数闭域
第十二章 扩域理论的一个应用——尺规作图问题
12.1 尺规作图的公理与可作点
12.2 可作公理的推论
12.3 可作数与实可作数域
12.4 所有的可作数构成域
12.5 可作数扩域
12.6 可作实数域中的直线与圆的方程
12.7 尺规作图给出的新可作点
12.8 尺规可作数的域论表示
12.9 三大古典几何问题的解决
第六部分 π以及e是超越数
第十三章 超越数的存在与刘维尔数
13.1 再谈代数元与超越元
13.2 两个有趣的例子
13.3 无穷可数集合
13.4 有理数域Q是可数的
13.5 康托尔的对角线法：实数域R是不可数的
13.6 代数数的整数多项式定义及相应的最低次数的本原多项式
13.7 代数数域是可数的
13.8 存在超越数
13.9 刘维尔定理
13.10 刘维尔数ξ是超越数
13.11 超越数的另一例
第十四章 π以及e是超越数
14.1 一次代数数的一般形式
14.2 二次实代数数的一般形式
14.3 e不是二次实代数数
14.4 e是超越数
14.5 π是超越数
14.6 超越数的一些基本定理
14.7 超越扩域、代数扩域，以及有限扩域
14.8 尾声——希尔伯特第七问题以及盖尔方德-施奈德定理
附录
附录1 比奈公式以及常系数线性递推数列
附录2 一些函数的级数展开与π的级数表示
附录3 古印度数学家马德哈瓦用正切函数计算π
附录4 用虚数单位i导出π的另两个级数表示
附录5 对称多项式基本定理中多项式g(x1，x2，…，xn)唯一性的证明
附录6 线性方程组求解简述
参考文献