引言
高等数学中研究的函数主要是针对实数范围内变量之间的相互依赖关系.随着实际问题的需要和数学理论的发展，数的研究范围逐步由实数推广到复数，函数也随之推广到变量为复数的复变函数.
1545年，意大利学者卡尔达诺（Cardano）在解三次方程时，首先引进负数开平方的思想，把40看成5+－15与5－－15的乘积，当时只是一种纯形式的表示.事实上，在解实系数一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）时，如果判别式Δ=b2－4ac<0，就会遇到负数开平方，最简单的例子是解x2+1=0，遇到－1开平方，为了使方程有解，需要负数开平方有意义.
复数的引入是数系的又一次扩充，是在实数系的基础扩充而得的，最初由于对复数的有关概念及性质了解得不清楚，用它们进行计算又得到一些矛盾，长期以来，人们把复数看成不能接受的“虚数”，直到17~18世纪，随着微积分的发明和发展，并且这个时期复数有了清晰的几何解释，把复数与平面向量对应起来解决了一些实际数学问题，复数才渐渐被人们承认并广泛使用.例如，用复变函数理论很容易证明一元n次方程
在复数域内恒有解，这就是著名的代数学基本定理.
瑞士数学家欧拉（Euler）于1777年发现了复指数函数和三角函数之间的关系，用符号“i”作为虚数的单位，系统地建立了复数理论，创立了复变函数论的一些基本定理，并开始把它们用到水力学和地图制图学上.19世纪，复变函数的理论经过法国数学家柯西（Cauchy）、德国数学家黎曼（Riemann）和魏尔斯特拉斯（Weierstrass）的巨大努力，已经形成了非常系统的理论，并且深刻地渗入到代数学、解析数论、微分方程、概率统计、计算数学和拓扑学等数学分支；同时，它在热力学、流体力学和电学等方面也有很多的应用.20世纪以来，复变函数已被广泛地应用在理论物理、弹性理论和天体力学方面，与数学中其他分支的联系也日益密切，致使经典的复变函数理论，如整函数与亚纯函数理论、解析函数的边值问题等有了新的发展和应用.并且，还开辟了一些新的分支，如复变函数逼近论、黎曼曲面、单叶解析函数论、多复变函数论、广义解析函数论和拟保形变换等.
积分变换无论在数学理论或其应用中都是一种非常有用的工具．最重要的积分变换有傅里叶(Fourier）变换、拉普拉斯(Laplace）变换，由于不同应用的需要，还有其他一些积分变换，其中应用较为广泛的有梅林(Meilin）变换和汉克尔(Hanker）变换，它们都可通过傅里叶变换或拉普拉斯变换转化而来.
复变函数理论在实际科学技术领域得到越来越广泛的应用，复变函数与积分变换课程是学习自动控制、电子信息工程与机电工程等专业课的理论基础.
第1章复数与复变函数
本章要点：
1.理解复数实部、虚部、模长、辐角和共轭复数的概念.
2.掌握复数的各种表示及相互转化.
3.熟悉复数的加减乘除和乘幂与方根的运算.
4.写出平面曲线复数形式.
5.计算复变函数的极限并判断连续性.
1.1复数
数在发展的历史上，主要经过以下几次扩展：自然数—整数—有理数—实数—复数.数的概念来源于生活，为了计数的需要产生了自然数；为了表示相反意义的量，有了负数；为了解决测量、分配中的等分问题，有了分数；为了度量（例如，边长为1km的正方形田地的对角线长度）的需要，产生了无理数.数的概念的发展一方面是生产生活的需要，另一方面也是数学科学本身发展的需要，观察以下几个方程：x+1=0，2x=1，x2=2，x2+1=0.矛盾是事物发展的根本动力，简单地说，由自然数扩张到整数是为了解决减法运算的封闭性；由整数扩展到有理数是为了满足除法运算的封闭性；由有理数扩张到实数是针对方根运算的封闭性提出的；将实数扩张到复数的意义主要是使负数开平方有意义.
1.1.1复数的基本概念
虚单位规定
（1）i2=－1.
（2）i可以像数一样与实数进行四则运算，且加法、乘法运算律仍然成立.
定义1.1.1（复数）把形如z=x+iy的数称为复数.其中x和y是实数，分别称为复数z的实部和虚部.记为
特别地，当Im（z）=0时，是实数；当Re（z）=0，且Im（z）≠0时，称为纯虚数.
定义1.1.2（两复数相等）对于两个复数z1=x1+iy1和z2=x2+iy2，当且仅当Re（z1）=Re（z2），Im（z1）=Im（z2）时，称z1与z2相等.即z1=z2x1=x2，y1=y2.（1.1.1）注：z=0x=0，y=0.
1.1.2复数四则运算与共轭复数
1.四则运算
设复数z1=x1+iy1，z2=x2+iy2，则有以下运算规则.
1）加减法z1±z2=（x1+iy1）±（x2+iy2）=（x1±x2）+i（y1±y2）（1.1.2）结果仍是复数，分别称为复数z1与z2的和与差.
说明：复数的加法遵守交换律与结合律，而且减法是加法的逆运算.
2）乘法z1z2=（x1+iy1）（x2+iy2）=（x1x2－y1y2）+i（x1y2+x2y1）（1.1.3）结果仍是复数，称为复数z1与z2的积.
说明：两个复数相乘，可按多项式乘法进行，并将i2换成－1即可.复数的乘法遵守交换律与结合律，而且遵守乘法对加法的分配律.
例1.1.1确定实数x，y，使等式（2－i）x+（3+5i）y=2－3i成立.
解等式转化为
由复数相等的定义（1.1.1），比较等式两端的实部和虚部，得
2x+3y=2－x+5y=－3x=1913，y=－413.
3）除法
两个复数z1=x1+iy1及z2=x2+iy2相除（z2≠0），可定义为满足z2z=z1的复数z=x+iy，称为z1除以z2的商，记为z=z1z2.
由z2z=z1及z2z=（x2+iy2）（x+iy）=（x2x－y2y）+i（x2y+xy2），再根据两个复数相等的定义，有
又因为z2≠0，故x22+y22≠0，故此时线性方程组有唯一解
因此两个复数z1=x1+iy1及z2=x2+iy2的商（z2≠0）定义为（1.1.4）引进共轭复数后，可根据共轭复数性质运算复数除法更方便.
定义1.1.3（复数域）全体复数并引进上述相等关系及代数运算后称为复数域，记为
说明：（1）在复数域中，两个复数一般是不能比较大小的，如不能说3i>2i，也不能说3i<2i（留为课后思考）.这是复数与实数的一个不同之处.
（2）在复数域内，我们所熟知的代数恒等式仍成立，如
z21－z22=（z1+z2）（z1－z2）.
2.共轭复数
定义1.1.4（共轭复数）与复数z=x+iy实部相同而虚部相反的数，称为z的共轭复数.记为z=x－iy.
例如，z=－3+2i，则z=－3－2i.
说明：（1）实部相同，虚部相反的两个复数互为共轭；
（2）复数z=x+iy为实数，当且仅当z=z.
3.共轭复数的性质:
熟练、灵活地运用这些简单性质，对简化计算，解答问题都会带来方便.如利用共轭复数性质（4）可简化除法运算，z相当于复数z的实数化因子.
解由可得
例1.1.3设，求
解所以
1.1.3复数的表示
1.复平面
由于复数z=x+iy可由一对有序实数（x，y）唯一确定，故可借助于横坐标为x，纵坐标为y的点来表示复数z=x+iy，于是建立平面直角坐标系上全部的点与全体复数间一一对应的关系.表示复数z的平面称为复平面或z平面.
由于x轴上的点对应着实数，故x轴称为实轴；而y轴上的非原点的点对应着纯虚数，图1.1.1复数的
向量表示故y轴称为虚轴；复数与复平面上的点一一对应，以后在研究复变函数时，不再区分“数z”和“点z”.
2.复数的向量表示
在复平面上，复数z=x+iy与从原点指向点z的平面向量一一对应，因此复数z也能用向量oz来表示，如图1.1.1所示.
1）复数的模
定义1.1.5（复数的模）向量Oz的长度称为复数z的模，记为r=|z|.
对复数，有|z|=x2+y2（1.1.6）
复数的模的性质（1）对任何复数z，|z|≥0，且|z|=0的充要条件是z=0；
（2）对任何复数z=x+iy，有Re（z）≤|z|，Im（z）≤|z|，|z|≤Re（z）+Im（z）；
（3）对任何复数z=x+iy，有|z|=|z|；
（4）对任何复数z，有zz=|z|2;
（5）对于任何两个复数z1，z2，有
展开
