第1章 数学背景及线性系统
　　1.1 傅里叶变换
　　电气工程中，大家关心的是信号作为时间的函数即 ，而此处所讨论的信号是电压或电流。 的正向时间傅里叶变换（Fourier transform）为
　　（1.1.1a）
　　这里，所变换的变量为时间 [s]和时间角频率 [rad/s]。式(1.1.1a)中， ，其逆傅里叶变换为
　　（1.1.1b）
　　但在光学中，大家感兴趣的是处理二维（2-D）信号，例如，某平面上空间变量为 和 的图像或电磁/光场的横向分布。因此，一个信号 的二维空间傅里叶变换可由下式（Banerjee and Poon，1991；Poon and Banerjee，2001） 给出，即
　　（1.1.2a）
　　其逆傅里叶变换为
　　（1.1.2b）
　　式中，所变换的变量为空间变量 [m]及空间角频率、[rad/m]；和为一个傅里叶变换对，可用符号表示为
　　从中可以发现，对正变换和逆变换的定义[式(1.1.2a)和式(1.1.2b)]与工程上对行波的约定一致，在《应用光学原理》（Principles of Applied Optics）（Banerjee and Poon，1991）中已给出解释。二维傅里叶变换的常见性质和例子见表1.1。
　　表1.1 二维傅里叶变换的性质和例子
　　续表
　　例1.1 的傅里叶变换及其MATLAB程序
　　一维矩形函数或简单的rect函数（rect function）— 可用下式表示：
　　（1.1.3a）
　　式中，为函数的宽。该函数如图1.1(a)所示，其二维形式可表示为
　　（1.1.3b）
　　图1.1 矩形函数
　　图1.1(b)和图1.1(c)给出了该函数的三维图和灰度图。在其灰度图中，假设振幅为1时为“白色”，振幅为0时为“黑色”，由式(1.1.3b)的定义可得到白色区域的面积为 。
　　为了求二维矩形函数的傅里叶变换，只需通过 来计算由式(1.1.2a)给出的积分。因此，可以写出
　　（1.1.4）
　　由于 是一个可分离变量函数（separable function）[式(1.1.3b)]，所以可将式(1.1.4)重新写为
　　（1.1.5）
　　上式*后一步利用了式(1.1.3a)所给的矩形函数的定义。现在来求式(1.1.5)。因为
　　（1.1.6）
　　所以，
　　（1.1.7）
　　式中， 被定义为sinc函数（sinc function）。表1.2给出了绘制sinc函数的m-文件，其输出如图1.2所示。从图中可以看出，sinc函数的零点在 = ±1， ±2， ±3 。
　　表1.2 Plot_sinc.m：绘制sinc函数的m-文件
　　为了确定矩形函数傅里叶变换的初始问题，利用式(1.1.7)的结果，则式(1.1.5)变为
　　（1.1.8a）
　　图1.2 sinc函数
　　因此，可以写出
　　（1.1.8b）
　　从中可以发现，当 函数沿 方向的宽度为 时，沿 的**个零点在 处。图1.3为式(1.1.8b) 的变换对，其中上半部分图示为二维灰度图，下半部分图示为水平横轴穿过上部分图中心时的线迹。这些图由表1.3中的m-文件生成，其中 。对于 ， 个长度单位，**个零点在 rad/（单位长度）处。注意， 平面上的显示区域已经按比例缩放为1个单位长度乘以1个单位长度。
　　图1.3 矩形函数及其傅里叶变换
　　表1.3 ff2Drect.m： 的二维傅里叶变换所对应的m-文件
　　续表
　　例1.2 MATLAB例子：位图图像的傅里叶变换
　　当二维函数或图像用一个位图文件给出时，可使用表1.4所给的m-文件来求其傅里叶变换。图1.4(a) 是图像文件大小为256×256时的位图图像，使用微软绘图（Microsoft？ Paint）很容易生成，图1.4(b) 为绝对值变换后所对应的图像。
　　表1.4 fft2Dbitmap_image.m：位图图像二维傅里叶变换的m-文件
　　图1.4 由表1.4中m-文件生成的位图图像及其变换
　　例1.3 函数及其变换
　　函数（delta function） 是系统研究中*重要的函数之一。 函数可定义如下：
　　（1.1.9）