**部分 被动地震监测的基本原理
　　万物皆有裂缝，那是光照进来的地方。
　　莱昂纳德 科恩(Anthem，1992)
　　第1章 本构关系和弹性变形
　　起初，上帝说让反对称二阶张量的四维散度为零，于是就有了光。
　　米基奥 卡库(The Universe in a Nutshell，2012)
　　本构关系为构建系统对外部刺激的响应的理论框架提供了基础。从形式上看，本构关系定义了物理量之间的数学关系，这些物理量决定了给定材料对外加作用力的响应(Macosko，1994)。通常来讲，本构关系是基于实验观察或数学推理，而不是基于基本守恒方程(Pinder and Gray，2008)。本章主要介绍适用于弹性介质的特定本构关系，亦称为广义胡克定律。该定律描述了一种线性变形机制，即施加外力引起的形变响应是完全可恢复的，且形变与合力的大小成正比。大量的实验结果证实了这种关系可以适用于受到较小形变的地球介质。如后续章节所述，将这种本构关系与一些基本的物理原理和边界条件相结合，可描述大量的波传播现象。
　　除了描述各向异性弹性连续体的本构关系外，本章还将简要介绍各种等效介质理论，这些理论可用于为复杂介质提供更容易描述和表征的模型。文中所关注的介质类型，包括多相介质、垂直非均匀(分层)介质和断裂弹性介质，能够适用于研究沉积盆地中的储层过程和诱发地震活动。此外，本章还将介绍多孔弹性介质的本构关系。这种类型的介质由两个部分组成：一个弹性框架，加上一个充满液体的孔隙网络。本章还会简要介绍决定孔隙压力在多孔弹性介质中扩散的数学框架。
　　1.1 应力和应变
　　地球内部运行的力会导致各种变形过程。作用于介质内任意表面上的点x的每单位面积的合内力称为牵引力(traction)，用向量T(x)表示(图1.1)。受力面不一定是类似于带边界的裂隙或层理面(bedding plane)。图1.1应力张量的各个元素(a)作用在阴影面上的牵引力，用T表示。T可以分解为剪应力和正应力，分别用τ和σn表示。(b)应力张量的分量。δV表示单位体积。为了描述的一般化而避免约定表面的方向，我们可以使用应力张量来表示内力。单位体积的应力张量可以表示为
　　σ=σ11σ12σ13σ21σ22σ23σ31σ32σ33(1.1)
　　应力张量中每个元素的**个下标表示垂直于单位体积相应表面的方向；第二个下标表示应力分量作用的方向。应力和牵引力的国际单位都是帕斯卡(Pa=N/m2)。如果一个面的单位法向量是n^，应力张量与牵引力向量的第j个元素的关系为
　　Tj=σ n^=∑3i=1σijn^i≡σijn^i(1.2)
　　其中，方程(1.2)右侧的表达式采用了标准的张量重复下标求和表示(见方框1.1)。因此，作用在封闭*面S内的体积上的合力F可以写为
　　Fj=∫STjdS=∫Sσijn^idS(1.3)
　　在力平衡状态下，由*面S包围的物体合力为零，所以|F|=0。
　　图1-1 应力张量的各个元素
　　(ａ)作用在阴影面上的牵引力.用T表示.T可以分解为剪应力和正应力.分别用τ和σｎ表示.(ｂ)应力张量的分量.δV表示单位体积.
　　方框1.1张量符号
　　张量是矢量的拓展，是能够多维度地表示与空间坐标和方向相关的物理量。张量在地球物理领域有广泛的应用：在连续介质力学和流体力学当中，张量能够很好地描述场和系统的物理性质。张量的分量用下标来表示，其中阶(order，也称为rank)表示所需下标的数量。应力张量σ是一个二阶张量，其第ij个分量写为σij。本书中一直使用重复下标(哑标)的求和表示(也叫作爱因斯坦求和约定)。简写的时候，张量的乘积内的重复下标表示求和。因此，使用求和表示意味着
　　aijbjk≡∑Nj=1aijbjk
　　其中N是系统中的维度(一般为2或3)。求和约定可用于单个张量，如
　　aii=a11+a22+a33
　　张量在坐标系的变换下是不变的。例如，坐标系围绕x3轴顺时针旋转θ，可以表示为
　　σ′mn=RmiRnjσij
　　在这种情况下，旋转算子R由以下公式给出
　　R=cosθsinθ0-sinθcosθ0001
　　张量的空间导数用下标的逗号来表示。比如说，
　　σij，j≡σij/xj
　　最后，时间导数用点表示，例如：
　　u ≡utandu ≡2ut2
　　应力张量具有许多显著特征。保持介质的连续性意味着单位体积上的净扭矩为零，也就意味着应力张量是对称的(即σij=σji)。如果一个表面的单位法向量为n，那么应力张量的非对角线元素(i≠j)代表施加的力在该平面内，叫作剪切应力；而对角线元素被称为正应力。通常来说，任何应力张量都是可对角化的，可以写成以下形式
　　σ=ΣΛΣ－1(1.4)
　　其中，Σ是一个由单位特征向量组成的矩阵；而Λ是一个对角矩阵，其元素是相应的特征值。特征向量是相互垂直的，被称为主应力轴。这些轴具有特殊的物理意义，因为它们代表了剪应力为零的平面的法向。与特征向量对应的特征值被称为主应力，由σ1、σ2和σ3来表示，并按σ1≥σ2≥σ3的顺序排列。在笛卡儿坐标系，这些主应力有时(但并不总是)等于作用于垂直方向(Sv)的应力(牵引力)大小、作用于水平方向的*大应力(SH)大小和*小应力大小(Sh)。
　　张量一般很难可视化，但是我们可以用莫尔圆(Mohr circle)来表示应力张量。莫尔圆是为了纪念其发明者奥托 莫尔(Otto Mohr)而命名的(Parry，2004)。下一章会讲到，莫尔圆能够用来表示基于各种破裂准则的断层或裂缝的稳定性。考虑一个由单位法向量n^定义的任意平面，对于任何给定的应力状态，作用在该表面上的牵引力可以分解为法向分量和剪切分量，分别表示为正应力σn(n^)和剪应力τ(n^)。如图1.2所示，这两个应力分量用于构建莫尔圆的坐标轴。为了理解莫尔圆是如何生成的，我们考虑一个简化的二维场景的应力张量
　　σ=σ100σ2(1.5)
　　其中，σ1是*大主应力，σ2是*小主应力。为了不失一般性，这里使用自然坐标系，使得x1和x2轴对应于主应力轴，因此应力张量中的非对角线元素(剪切应力)为零。一般来说，应力张量可以通过旋转变换表示在旋转后的坐标系中，
　　σ′11σ′12σ′21σ′22=cos(θ)sin(θ)-sin(θ)cos(θ)σ100σ2cos(θ)-sin(θ)sin(θ)cos(θ)(1.6)
　　其中，θ是旋转角度。展开右侧，垂直于x′1轴的表面上的法向应力和剪应力值(与x1轴成角度θ)由下式给出
　　σn=σ′11=σ1cos2θ+σ2sin2θ=σ1+σ22+σ1-σ22(cos2θ-sin2θ)τ=σ′12=(σ2-σ1)sinθcosθ=σ1-σ222sinθcosθ(1.7)
　　在σn的表达式中，我们使用了三角恒等式sin2θ+cos2θ=1。通过进一步使用三角恒等式cos2θ=cos2θ-sin2θ和sin2θ=2sinθcosθ，我们可以得出：
　　σn=σ1+σ22+σ1-σ22cos2θτ=σ1-σ22sin2θ(1.8)
　　它们是关于变量2θ的参数方程，用于描述圆心在σ1+σ22且半径为σ1－σ22的圆。因此，在二维情况下，莫尔圆表示应力状态为(σn，τ)空间中的点的轨迹。圆上的每个点对应一个平面，其法线与*大主应力轴成θ角。通常情况下，二维莫尔圆以τ(而不是τ)为半径作图所以为半圆。
　　在三维情况下，可以应用类似的方法。*先，考虑与*大主应力(σ1)和*小主应力(σ3)的轴共面的法线向量n。基于上述二维情况的论证，关于σ1和τ的所有可能的应力状态可以定义一个圆心在σ1+σ32和半径为σ1－σ32的圆。类似的，与其他主应力轴对共面的法向量可以定义两个平面，而这两个平面定义了具有较小半径和不同圆心的两个莫尔圆。这三个半圆可以创建一个三维的莫尔圆(图1.2)。可以证明，对于由主应力σ1、σ2和σ3定义的应力状态，对于所有可能的法向量，包括那些与主应力轴对不共面的法向量，三维莫尔圆中的大莫尔圆是(σn，τ)空间中的外边界，而较小的两个莫尔圆表示内部边界。参考图1.2，具有随机方向的任意平面上的应力状态都会被包含(落)在三个莫尔圆之间的区域内。
　　图1.2 三维莫尔圆(主应力σ1≥σ2≥σ3)
　　符号“+”代表100个随机方向的裂缝的应力状态。点P定义了一个平面上的应力状态，该平面的法线与最大和最小主应力轴共面，并且与*大主应力轴成θ角。